Cтраница 3
Докажите, что если ht для каждого t 0 является взаимно-однозначным отображением, то У Yt ht ( Xt), t 0 также есть марковский процесс. Приведите пример, показывающий, что если отказаться от условия взаимной однозначности отображения ht, то это утверждение может не выполняться. [31]
При этом между внутренними точками полосы и точками пространства XYZ, не лежащими в полуплоскости XOZ ( х 0) отображение ( 3) будет взаимно однозначным. Между граничными точками полосы и соответствующими им точками полуплоскости XOZ ( х 0) взаимная однозначность отображения нарушается. Проверить это предоставляем читателю. [32]
Из него вытекает, что х - - сюръекция. Отсюда ( а, а) е Кегуз, следовательно, b - b, что доказывает взаимную однозначность отображения х - Так как сигнатура функциональна, из существования функции х - и того, что х - - гомоморфизм, следует, что х является изоморфизмом. [33]
Черев Ф ( р) и Ф ( р) проходит прямые семейства. Но если Ф ( р) и Ф ( д) лежат на одной прямой, то в силу взаимной однозначности отображения Ф точки р и q лежат на одной траектории. [34]
При изучении конечных групп Т полезно рассматривать так называемые групповые алгебры или групповые кольца. Под групповой алгеброй понимают алгебру А над полем комплексных ( или вещественных) чисел и такое отображение 6 группы Т в А, что ( 1) Q ( tt) Q ( t) Q ( t) для произвольных элементов t и V группы Г, ( 2) О ( Г) порождает Л и ( 3) элементы 6 ( 0 линейно независимы в А. Эти условия обеспечивают взаимную однозначность отображения 6 и определяют А однозначно с точностью до изоморфизма. [35]
Отсюда следует, по 10.44, что значение w принимается функцией f ( z) в окрестности G, с учетом кратностей, п раз. Но так как по условию / ( z) не имеет других нулей в области G, кроме точки z0, мы видим, что любое значение w O принимается фактически функцией / ( г) в п различных точках. В указанных случаях для восстановления взаимной однозначности отображения вводят понятие римановой поверхности. [36]
Вопрос о том, будет ли требование взаимной однозначности преобразования существенным для справедливости теоремы или же предложение остается в силе и без этого ограничения, не разрешен еще до конца. Доказано, что всякое непрерывное и взаимно однозначное отображение, обладающее постоянством растяжений необходимо должно быть конформным I или II рода. С другой стороны, на простом примере легко показать, что здесь требование взаимной однозначности отображения является существенным. Действительно, легко дать пример непрерывного отображения с постоянным растяжением, которое не будет конформным ни I, ни Ирода. [37]
Вопрос о том, будет ли требование взаимной однозначности преобразования существенным для справедливости теоремы или же предложение остается в силе и без этого ограничения, не разрешен еще до конца. Доказано, что всякое непрерывное и взаимно однозначное отображение, обладающее постоянством растяжений, необходимо должно быть конформным I или II рода. С другой стороны, на простом примере легко показать, что здесь требование взаимной однозначности отображения является существенным. Действительно, легко дать пример непрерывного отображения с постоянным растяжением, которое не будет конформным ни I, ни II рода. Очевидно, это отображение будет непрерывным во всей плоскости комплексного переменного г, будет обладать постоянным растяжением и тем не менее оно не будет ни аналитическим во всей плоскости, пи сопряженным с аналитическим во всей плоскости. Вторая проблема, следовательно, получает отрицательное решение, если рассматривать однозначные, но не взаимно однозначные отображения. [38]
Представим теперь себе некоторое усложнение вида оригиналов. Пусть, скажем, составляющие его и подлежащие фотографированию символы ( мы пока по-прежнему считаем их одноцветными) расположены на нескольких прозрачных плоских пластинах, параллельных друг другу и плоскости изображения и перпендикулярных параллельному пучку проектирующих лучей. Изображения по-прежнему будут конгруэнтны своим прообразам, и по-прежнему каждый элемент получит единственное изображение. Но теперь, вообще говоря, уже нельзя утверждать, что каждый элемент фотографии есть изображение некоторого единственного прообраза - взаимная однозначность отображения нарушается, так как две или более конгруэнтных фигуры могут оказаться сечениями одного и того же прямого цилиндра, перпендикулярного плоскостям проекций. [39]