Cтраница 3
Если какая-нибудь из комбинаций Xk iji невозможна, то условно полагают я 0; это не отразится на математическом ожидании суммы. [31]
Борель сформулировал здесь следующую важную теорему: если X и У любым способом связанные между собой случайные величины, то математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых М ( X - - Y) MX - - MY. Здесь М означает символ математического ожидания стоящей за ним случайной величины. [32]
Если какая-нибудь из комбинаций xk - - yl невозможна, то условно полагают яйг 0; это не отразится на математическом ожидании суммы. [33]
Если какая-нибудь из комбинаций xk - - yi невозможна, то условно полагают Л е /: 0; это не отразится на математическом ожидании суммы. Аналогично определяются остальные выражения. Различают также независимые и зависимые случайные величины. Две случайные величины считаются независимыми, если возможные значения и закон распределения каждой из них один и тот же при любом выборе допустимых значений другой. В противном случае они называются зависимы лиг. Несколько случайных величин называются взаимно независимыми, если возможные значения и законы распределения любой из них не зависят от того, какие возможные значения приняли остальные случайные величины. [34]
Я должен сказать - хотя это и секрет, - что даже специалисты по теории вероятностей и статистике, абстрактно знающие теорему о математическом ожидании суммы, подчас не могут применить ее в конкретных случаях, так как они не осознали ее. [35]
Ниже перечислены основные свойства математического ожидания ( с - постоянная, х и у - случайные величины), согласно которым математическим ожиданием постоянной величины является сама постоянная величина, а математическое ожидание суммы постоянной и случайной или двух случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин. [36]
Ниже перечислены основные свойства математического ожидания ( с - постоянная, х и у - случайные величины), согласно которым математическим ожиданием постоянной величины является сама постоянная величина, а математическое ожидание суммы постоянной и случайной или двух случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин. [37]
МС - математическое ожидание части затрат по газорегу-ляторному пункту, не зависящее от его пропускной способности; Mb - математическое ожидание удельной стоимости тру-боукладочных работ, зависящее от диаметра газопровода; Fz - газифицированная площадь микрорайона; MQ2 - математическое ожидание суммы расходов газа на выходе из всех ГРП; Ардоп - допустимый перепад давления; L - общая протяженность сетей низкого давления. [38]
Брошены две игральные кости. Найти математическое ожидание суммы выпавших очков, если известно, что выпали разные грани. [39]
Необоснованность этого обвинения совершенно очевидна. При вычислении величины E ( ZQ - ZQ) речь идет об определении математического ожидания суммы случайных переменных, и никакие коэффициенты корреляции здесь роли не играют. Выводы же E.G. Рубинштейн относятся к вычислению среднего квадратического отклонения суммы случайных переменных. Здесь игнорирование коэффициентов корреляции, конечно, является ошибкой. [40]
Общность результатов Ляпунова произвела огромное впечатление на современников. По-видимому, именно в ту пору и появился термин центральная предельная теорема для обозначения условий сходимости функций распределения нормированных и центрированных математическими ожиданиями сумм к нормальному распределению. Марков подошел к результатам Ляпунова с далеко иных позиций. В связи с этим полезно привести подлинные слова Маркова: Общность выводов в последней работе Ляпунова далеко превзошла ту, которая была достигнута методом математических ожиданий. Достигнуть столь общих выводов методом математических ожиданий казалось даже невозможным, ибо он основан на рассмотрении таких математических ожиданий в неограниченном числе, существование которых в случаях Ляпунова не предполагается. [41]
Общность результатов Ляпунова произвела огромное впечатление на современников. По-видимому, именно в ту пору и появился термин центральная предельная теорема для обозначения условий сходимости функций распределения нормированных и центрированных математическими ожиданиями сумм к нормальному распределению. Марков подошел к результатам Ляпунова с иных позиций. В связи с этим полезно привести подлинные слова Маркова: Общность выводов в последней работе Ляпунова далеко превзошла ту, которая была достигнута методом математических ожиданий. [42]
Рекомендуем самостоятельно доказать приведенные свойства, учитывая, что при любом фиксированном значении аргумента случайная функция является случайной величиной, а неслучайная функция - постоянной величиной. Например, свойство 3 доказывается так: при фиксированном значении аргумента случайные функции X ( t) и Y ( t) являются случайными величинами, для которых математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых. [43]
Во второй модели вводится понятие работы, которая представляет собой упорядоченную последовательность заданий, генерируемую вероятностным методом. Задача заключается в том, чтобы составить расписание выполнения совокупности работ на одной машине. Времена выполнения и стоимости заданы в виде случайных величин, а критерием качества является математическое ожидание суммы взвешенных времен окончания всех заданий, побывавших на обслуживании. [44]
Техника приведения к единому знаменателю по риску не выработана. Солидный материал на эту тему накоплен в теории игр и в страховых компаниях, но он мало нам подходит. В простейшем варианте можно руководствоваться правилом, по которому увеличение риска должно компенсироваться таким увеличением процентной ставки, чтобы математическое ожидание суммы не изменилось. Например, эквивалентом вложения одной денежной единицы под процент г без риска ( вероятность получения ожидаемой суммы равна единице) служит вложение этой единицы под процент гь где г гг. Здесь надо уточнить, что риск - понятие, относящееся к определенному промежутку времени, например году. Вероятность не получить ожидаемую прибыль в одном году не равноценна вероятности не получить ее ни в одном из t лет. [45]