Cтраница 1
Окрестность V нейтрального элемента е топологической группы G называют симметричной, если V - l - V; для каждой окрестности U элемента е множества U [) U - l, U [ U - l и С / ГУ 1 являются его симметричными окрестностями. Симметричные окрестности точки е образуют фундаментальную систему окрестностей этой точки. В произвольной группе G базис фильтра 93, состоящий из подгрупп группы G, удовлетворяет аксиомам ( GVi) и ( GVn); для того чтобы он был фундаментальной системой окрестностей е в топологии, согласующейся с заданной в G структурой группы, необходимо и достаточно, чтобы он удовлетворял аксиоме ( GVin), что всегда будет иметь место, осли все подгруппы из 33 нормальные. [1]
Существует такая компактная окрестность V нейтрального элемента е, что для любых двух ее точек х, у отношение х2 у2 влечет х у. [2]
Если и - окрестность нейтрального элемента е топологической группы G, то для произвольного непустого множества Л с: G множества и А и А и являются окрестностями множества А. [3]
Пусть V - окрестность нейтрального элемента е тогда VA и AV являются окрестностями множества А. [4]
С) имеется окрестность нейтрального элемента, гомеоморфная открытому множеству вещественного декартова пространства надлежащей размерности. [5]
ЬКц) Существует связная окрестность U нейтрального элемента е группы С такая, что его дополнение относительно U несвязно. [6]
В связной группе всякая окрестность нейтрального элемента представляет собой систему образую-щах этой группы. [7]
Действительно, пусть V-какая-нибудь окрестность нейтрального элемента в связной группе и Н - подгруппа, порожденная элементами из V. [8]
Пусть 33 - фильтр окрестностей нейтрального элемента е в топологической группе G и а - произвольная точка из G; поскольку х - ахи х i - ха - гомеоморфизмы, фильтр окрестностей точки а совпадает с семейством аЭЗ множеств aV, где V пробегает 33, а также с семейством 93а множеств Fa. Таким образом, фильтр окрестностей произвольной точки топологической группы известен, как только известен фильтр окрестностей нейтрального элемента е этой группы. [9]
Уа) образуют фундаментальную систему окрестностей нейтрального элемента е в G ( гл. [10]
Если в топологической группе G существует окрестность V нейтрального элемента е, полная в правой или левой равномерной структуре, то G полна. [11]
В полутопологической группе С пересечение цсех открыто-замкнутых окрестностей нейтрального элемента е есть замкнутая подгруппа Н, инвариантная относительно всех автоморфизмов группы С. [12]
Локально компактная группа, порождаемая каждой окрестностью нейтрального элемента, связна. [13]
Пусть G - полная группа, всякая окрестность нейтрального элемента е которой содоржит открытую подгруппу. [14]
Топологическая группа G, в которой существует окрестность нейтрального элемента, гомеоморфнап открытому интервалу из R, локально изоморфна R ( гл. [15]