Cтраница 3
Пусть С - вполне несвязная локально компактная группа, левая и правая равномерные структуры которой совпадают. Показать, что всякая окрестность нейтрального элемента е в G содержит открытый компактный нормальный делитель группы С. [31]
Пусть 33 - фильтр окрестностей нейтрального элемента е в топологической группе G и а - произвольная точка из G; поскольку х - ахи х i - ха - гомеоморфизмы, фильтр окрестностей точки а совпадает с семейством аЭЗ множеств aV, где V пробегает 33, а также с семейством 93а множеств Fa. Таким образом, фильтр окрестностей произвольной точки топологической группы известен, как только известен фильтр окрестностей нейтрального элемента е этой группы. [32]
Понятие экспоненциального отображения, установленное нами для матриц, может быть обобщено на случай произвольной аналитической группы. Это позволяет использовать элементы, образующие алгебру Ли аналитической группы g, для параметрического представления элементов, образующих окрестность нейтрального элемента в 5 - Определение этого обобщенного экспоненциального отображения служит предметом § VIII. Экспоненциальное отображение используется в § IX для пополнения полученных в § VII сведений о гомоморфных отображениях аналитических групп. [33]
G, то для любой точки а; из G множества хА, Ах и А-1) открыты ( соотв. Если V - окрестность нейтрального элемента е в G, то для любого непустого множества А из G множества VA и AV являются его окрестностями; действительно, если W - открытая окрестность с, содержащаяся в V, то WA и AW открыты и содержат А. [34]
Предметом главы II являются свойства групп, вытекающие из наличия в этих группах топологии. I содержит определение топологической группы, топологической подгруппы и произведения топологических групп. Оказывается, что во многих случаях изучение топологической группы в окрестности нейтрального элемента доставляет ценные сведения о всей группе ( см., например, предложение 5 § III, стр. [35]
Поскольку С - замкнутый нормальный делитель группы G ( § 2, предложение 7), QIC - локально компактная ( предложение 13) вполне несвязная ( гл. Так как прообраз открытой подгруппы группы GIC относительно канонического отображения G на G / C есть открытая подгруппа в G, содержащая С, то можно ограничиться доказательством предложения для группы G / C, иначе говоря, мы свели доказательство к случаю, когда G вполне несвязна. II, § 4, следствие предложения 6), тогда всякая компактная окрестность V нейтрального элемента е содержит открыто-замкнутую окрестность U. В силу компактности U и замкнутости BCU, е обладает симметричной открытой окрестностью W такой, что We U и UW [ BW 0 ( § 3, п 1 и гл. [36]