Cтраница 1
Вписанная окружность треугольника ABC касается его сторон в точках AI, BI и С. Внутри треугольника ABC взята точка X. Прямая АХ пересекает дугу В С вписанной окружности в точке А %; точки В % и Съ определяются аналогично. Докажите, что прямые А А В В. C Ci пересекаются в одной точке. [1]
Вписанная окружность треугольника ABC касается стороны АС в точке D, DM - ее диаметр. Прямая ВМ пересекает сторону АС в точке К. [2]
Вписанная окружность треугольника ABC касается стороны ВС в точке К, а вневписанная - в точке L. [3]
Вписанной окружностью треугольника называют окружность, касающуюся всех его сторон. Центром вписанной окружности является точка пересечения биссектрис. [4]
Пусть вписанные окружности треугольников ABC и ACD касаются диагонали АС в точках М и JV соответственно. Итак, если точки М и N совпадают, то четырехугольник ABCD описанный, и аналогичные рассуждения показывают, что точки касания вписанных окружностей треугольников ABD и BCD с диагональю BD совпадают. [5]
Пусть вписанная окружность треугольника ABC касается сторон АВ ВС и С А в точках Р, Q и М, а вписанная окружность треугольника ACD касается сторон AC, CD и DA в точках М, R и S. Так как АР - AM - AS и CQ - СМ - - CR, то треугольники APS BPQ CQR и DRS равнобедренные; пусть а, / 3 7 и ( 5 - углы при основаниях этих равнобедренных треугольников. Сумма углов этих треугольников равна 2 ( а 0 7 S) ZA ZB Z ( 7 Z. [6]
Радиус вписанной окружности треугольника равен 1, длины высот - целые числа. Докажите, что треугольник правильный. [7]
Радиус вписанной окружности треугольника равен 1, а длины его сторон - целые числа. [8]
Центр вписанной окружности треугольника ABC симметричен центру описанной окружности относительно стороны АВ. [9]
Окружность S является вписанной окружностью треугольника А ВС, поэтому достаточно доказать, что при гомотетии Нд точка О переходит в О. [10]
Докажите, что центры вписанных окружностей треугольников ABC, BCD, CD А и DAB образуют прямоугольник. [11]
Докажите, что центр вписанной окружности треугольника ABC лежит внутри треугольника ВОН, где О - центр описанной окружности, Н - точка пересечения высот. [12]
Из произвольной точки О вписанной окружности треугольника ABC опущены перпендикуляры О А, ОВ, ОС на стороны треугольника ABC и перпендикуляры ОА ОВ ОС на стороны треугольника с вершинами в точках касания. [13]
Докажем, что центр О вписанной окружности треугольника ABC со сторонами АВ 6, ВС 4 и С А 8 одинаково удален от середин сторон АС и ВС. [14]
Докажите, что центр О вписанной окружности треугольника ABC делит биссектрису АА в отношении АО: ОА - ( Ь с): а, где а, Ь, с - длины сторон треугольника. [15]