Cтраница 3
Дан треугольник ABC такой, что ЛВ 15 см, ВС - - 12 см и ЛС18 см. Вычислить, в каком отношении центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису угла С. [31]
Диагонали описанной трапеции ABCD с основаниями AD и ВС пересекаются в точке О. Радиусы вписанных окружностей треугольников AOD AOB BOC и COD равны Г1 Г2 гз и г 4 соответственно. [32]
Диагональ АС разбивает четырехугольник ABCD на два треугольника, вписанные окружности которых касаются диагонали АС в одной точке. Докажите, что вписанные окружности треугольников ABD и BCD тоже касаются диагонали BD в одной точке, а точки их касания со сторонами четырехугольника лежат на одной окружности. [33]
Вписанная окружность прямоугольного треугольника ABC касается гипотенузы АВ в точке Р; СН - высота треугольника ABC. Докажите, что центр вписанной окружности треугольника АСН лежит на перпендикуляре, опущенном из точки Р на АС. [34]
Докажите, что если радиусы вписанных окружностей треугольников АВО, ВСО, CDO и DAO равны, то ABCD - ромб. [35]
Решение этой задачи обобщает решение предыдущей задачи. Достаточно доказать, что центр О вписанной окружности треугольника АВС лежит на отрезке MiNi. Пусть AI и А2 - середины дуг ВС и ВС2, В и Въ - середины дуг АС и АСъ PQ - диаметр окружности S, перпендикулярный хорде АВ, причем Q и С лежат по одну сторону от прямой АВ. [36]
Треугольник ABC правильный, Р - произвольная точка. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из центров вписанных окружностей треугольников РАВ, РВС и PC А на прямые АВ, ВС и С А, пересекаются в одной точке. [37]
Согласно задаче 5.52 прямая, делящая пополам площадь и периметр треугольника, проходит через центр его вписанной окружности. Ясно также, что если прямая проходит через центр вписанной окружности треугольника и делит его периметр пополам, то она делит пополам и его площадь. Поэтому нужно провести прямую, проходящую через центр вписанной окружности треугольника и делящую его периметр пополам. [38]
Около треугольника ABC описаны окружность. Докажите, что отрезок DE параллелен стороне АС и проходит через центр вписанной окружности треугольника А В С. [39]
Пусть вписанные окружности треугольников ABC и ACD касаются диагонали АС в точках М и JV соответственно. Итак, если точки М и N совпадают, то четырехугольник ABCD описанный, и аналогичные рассуждения показывают, что точки касания вписанных окружностей треугольников ABD и BCD с диагональю BD совпадают. [40]
Согласно задаче 5.52 прямая, делящая пополам площадь и периметр треугольника, проходит через центр его вписанной окружности. Ясно также, что если прямая проходит через центр вписанной окружности треугольника и делит его периметр пополам, то она делит пополам и его площадь. Поэтому нужно провести прямую, проходящую через центр вписанной окружности треугольника и делящую его периметр пополам. [41]
Пусть точки BI и С симметричны точкам В к С относительно точки О. Тогда треугольник С ОВ содержится внутри треугольника AOD, поэтому вписанная окружность S треугольника С ОВ содержится внутри треугольника AOD. Предположим, что отрезок AD не совпадает с отрезком С В. [42]
Описанная окружность треугольника ABC делит отрезок 11С пополам ( задача 5.120, б), а отрезок 11С делит пополам дугу АВ. Из этого вытекает следующее построение. Окружности S и Si пересекаются в точках А и В. Теперь можно построить вписанную окружность треугольника ABC и провести к ней касательные в точках А и В. [43]