Cтраница 1
Операторы Штурма - Лиувилля и их приложения, Киев, Наукова думка, 1977; Спектральная теория операторов Штурма-Лиувилля. [1]
Рассмотрим теперь оператор Штурма - Лиувилля I ( у) - у q ( x) у на полупрямой ( О, оо), по-прежнему предполагая, чтод ( я) - непрерывная функция. [2]
Неоднородная краевая задача, включающая оператор Штурма - Лиувилля L, может Сыть решена методами пп. [3]
Неоднородная краевая задача, включающая оператор Штурма - Лиувилля L, может быть решена методами пп. [4]
Теперь нетрудно показать, что оператор Штурма - Лиувилля является эрмитовым в интервале ( а, Ь) по отношению к любой паре функций, принадлежащих к классу функций, подчиняющихся граничным условиям Штурма - Лиувилля. [5]
Ряд (14.6) называется регуляризованным следом для оператора Штурма: - Лиувилля, и цель настоящего параграфа - найти его сумму. [6]
Доказательство основывается на непрерывной зависимости спектральных параметров оператора Штурма - Лиувилля от исходных данных задачи и существенно опирается на теорему В. А. Марченко ( 1972) об устойчивости восстановления обыкновенного дифференциального уравнения по его спектральной функции. [7]
Все эти задачи были успешно решены для операторов Штурма - Лиувилля в течение 50 - 60 - х годов XX в. [8]
Гельфанда - Левитана [ I ] определения оператора Штурма - Лиувнлля по его спектральной функции, эта задача имеет единственное решение. [9]
Спектром, соответствующим задаче, как для оператора Штурма - Лиувилля, так и для системы Дирака в случае полупрямой [ 0, оо) называется множество, дополнительное к множеству точек, в окрестности которых спектральная функция р ( X) постоянна. Очевидно, спектр есть замкнутое множество. Точечным или дискретным спектром называется множество всех точек разрыва спектральной функции р ( X) ( в случае полупрямой [ 0, оо)) и функций Е ( Х), TJ ( X) и С ( Х) ( в случае всей прямой ( оо, оо)), а непрерывным спектром - множество точек непрерывности р ( X), принадлежащих спектру. Точки в дискретном спектре называются также собственными значениями, а решения задачи, соответствующие таким точкам, называются собственными функциями. [10]
О, оо) по собственным функциям оператора Штурма - Лиувилля и разложения в обычный интеграл Фурье по косинусам стремится к нулю равномерно в каждом конечном интервале. [11]
Эта идея позволяет, как и в случае оператора Штурма - Лиувилля, рассмотренного в предыдущей главе, получить теорему разложения и для сингулярной задачи системы Дирака, если рассматривать ее как предел регулярных задач. [12]
Таким образом, ЛГ, АТ обратные к операторам Штурма - Лиу-вилля на пространстве L2 ( а, Ь) ( с краевыми условиями Дирихле, а также Неймана), являются интегральными операторами Фредгольма. Функции Грина G, и G2 можна охарактеризовать как ядра этих интегральных операторов. [13]
Из теорем о равной суммируемости дифференцированных разложений по собственным функциям оператора Штурма - Лиувилля и разложения в обычный интеграл Фурье по косинусам, доказанных в предыдущем параграфе, легко получить теоремы суммирования дифференцированных разложений по собственным функциям оператора Штурма - Лиувилля к значению соответствующих производных разлагаемой функции, если имеются такие теоремы суммирования производных для разложения в обычный интеграл Фурье. [14]
В полученном И. М. Гельфандом и Б. М. Левитаном [6] полном решении обратной задачи восстановления оператора Штурма - Лиувилля по его спектральной функции р ( X) существенно используются операторы преобразования, интерпретация которых как операторов, ортогонализующих cos Kx по мере dp ( X), составляет идейную основу этой работы. [15]