Оператор - эволюция
Cтраница 3
Поскольку гамильтониан на каждом временном промежутке является константой, оператор эволюции можно получить прямым интегрированием по времени. [31]
При уменьшении расстояния от критической точки в 5 4 раза оператор эволюции за удвоенное число шагов итераций совпадает с исходным. В этом выражается свойство скейлинга. Из рассмотренной здесь версии РГ анализа оно получается в менее общем виде, чем сформулировано в конце предыдущего раздела: там речь шла о пересчете масштаба времени на произвольный фактор 7, а не только об удвоении. [32]
Поскольку гамильтониан эрмитов, мы применяем описанные выше шаги для оператора эволюции U ( t) e - lHt, который унитарен и имеет те же собственные векторы и собственные значения. [33]
В § 7.1 мы приводим весьма полезную явную формулу для оператора эволюции свободного гамильтониана Штарка с постоянным электрическим полем, найденную Авроном и Херб-стом. Она применяется в § 7.2 для доказательства того, что операторы умножения, средние от которых обладают некоторыми определенными свойствами, являются компактными локально, на спектре гамильтониана Штарка. Этот результат уже был использован нами при изложении в теории Мурра в гл. [34]
Если оператор Гамильтона Н не зависит от времени явно, то оператор эволюции S может быть найден в общем виде. [35]
В приложении 1А показано, как уравнения (1.2.71) и (1.2.73) для оператора эволюции можно проинтегрировать с помощью упорядоченных по времени экспоненциальных операторов. [36]
Оператор ехр - i ( t - to) L обычно называется оператором эволюции. [37]
Пусть мы имеем некоторую динамическую систему, т.е. задано фазовое пространство и указан оператор эволюции. Вместо одной системы рассмотрим ансамбль, состоящий из большого количества ее идентичных копий, причем все представители ансамбля могут отличаться друг от друга только лишь начальными условиями. В фазовом пространстве ансамбль представляется облаком изображающих точек. С течением времени каждая изображающая точка перемещается в фазовом пространстве, как предписано динамическими уравнениями системы, так что форма облака и его размеры будут меняться. [38]
Она в некоторой степени напоминает теорию среднего гамильтониана, поскольку также использует разложение оператора эволюции по порядкам убывающей значимости. Ее общий анализ приведен в работах [3.4, 3.5, 3.35] и выходит за рамки данного раздела. [39]
Действительно, при одинаковой четности вклад в (62.4) дают лишь четные степени разложений операторов эволюции по it ( l - &) L. Но для таких степеней различие в знаке у времени не проявляется, и (62.4) выполняется при e & &-i. В случае противоположной четности, вклад в (62.4) дают лишь нечетные степени разложений. Доказанное равенство (62.4) выражает инвариантность законов механики относительно отражения времени. В пределе малых krc временная зависимость в (62.4) делается, согласно (61.18), чисто динамической. [40]
Основные сложности при вычислении ядра Knnmm ( t) связаны с тем, что оператор эволюции U ( t) exp ( - itQLQ) в формуле (7.2.25) содержит проекционный оператор Q. Покажем, однако, что если нас интересуют разложения ядра обобщенного уравнения Паули по степеням Н1, то можно сформулировать теорию возмущений, в которой используются только корреляционные функции с обычной эволюцией операторов, не включающей проектирование. [41]
Как мы видели, из результатов РГ анализа, вблизи критической точки GM выражение для оператора эволюции, получаемое при многократных итерациях РГ преобразования, зависит от двух параметров - коэффициентов С и CV Если построить карту динамических режимов на плоскости этих параметров, то она, очевидно, будет обладать свойством двумерного скейлинга. Действительно, одновременный пересчет параметров по правилу С [ Ci / 8i, С С-2 / &-2 и увеличение индекса m на единицу оставляет форму оператора эволюции неизменной. [43]
Если при некоторых значениях параметров это удается сделать, то процедуру можно повторять многократно, получая последовательность операторов эволюции для все больших и больших временных интервалов. Процедура перехода от старого оператора к новому, перенормированному, называется РГ преобразованием, а набор значений параметров, о котором мы говорили, задает расположение критической точки. В критической точке структура операторов эволюции на больших временах оказывается обусловленной не конкретным видом исходного оператора системы, а структурой РГ преобразования. В этом и состоит универсальность. Поскольку в критической точке получаемые при многократном применении РГ преобразования операторы эволюции оказываются одинаковыми с точностью до масштабной замены переменных, система должна демонстрировать на различных временах подобную динамику с соответствующим пересчетом масштаба динамических переменных, проявляя свойство скейлинга. [44]
Хотя это выражение имеет довольно компактный вид, его не всегда удобно использовать, так как оно содержит точный двухчастичный оператор эволюции. [45]
Страницы: 1 2 3 4