Cтраница 3
Следует ли отсюда, что Q - ортогональный оператор. [31]
Докажите, что в ортонормированном базисе матрица ортогонального оператора является ортогональной матрицей. [32]
Таким образом, унитарный оператор является аналогом ортогонального оператора. Так же как и ортогональный оператор ( в вещественном пространстве), он сохраняет длины векторов и ортогональные векторы переводит в ортогональные. В частности, любой ортонор-мированный базис унитарный оператор переводит в ортонормированный базис. Верно и обратное: линейный оператор, преобразующий хотя бы один ортонормированный базис в ортонормированный, является унитарным. Легко видеть, что если оператор si - унитарный, то si s4 - - l, и обратно. [33]
Аналогом унитарных операторов в вещественном евклидовом пространстве являются ортогональные операторы. [34]
Аналогом унитарных операторов в вещественном евклидовом пространстве являются ортогональные операторы. [35]
Таким образом, в некотором ортонормированном базисе действие ортогонального оператора сводится к последовательным поворотам и отражениям относительно координатных осей. [36]
Зафиксируем ортонормированный базис Е и сопоставим с каждым ортогональным оператором Е его матрицу в выбранном базисе. Так как произведению двух линейных операторов отвечает произведение их матриц, построенное отображение есть искомый изоморфизм. [37]
Это относится, в частности, к изометриям - унитарным и ортогональным операторам. Так как в комплексном случае алгебраическая картина ( при некоторой потере геометрической интуиции) становится проще, то часто применяют операцию ( или, как еще говорят, функтор) комплек-сификации к вещественным пространствам и операторам, а при помощи обратной операции ( функтора овеществления) возвращаются к первоначальным объектам. [38]
Группа движений является группой Ли, а движения описываются ортогональными операторами. Sfm i, двойственном самому себе, определяются кодвижения - корреляции, переводящие каждые две точки в две 2т - плоскости, угол между к-рыми пропорционален расстоянию между точками, а каждые две 2т - плоскости - в две точки, расстояние между к-рыми пропорционально углу между плоскостями. Движения и кодвижения пространства Szm i образуют группу, являющуюся группой Ли. Геометрия 2-плоскости S совпадает с геометрией евклидовой, а геометрия 2-плоскости S - с геометрией неевклидовой плоскости. [39]
Ясно, что и в нем si - будет ортогональным оператором. [40]
В этом параграфе изучается важнейший класс операторов евклидовых пространств - ортогональные операторы. [41]
Поэтому равенство ( 2) показывает, что Qf0 есть ортогональный оператор, что и утверждалось. [42]
Предложения 24.8 и 24.9 вместе с теоремой 24.9 позволяют описать произвольный ортогональный оператор n - мерного евклидова пространства. [43]