Cтраница 3
Как известно из релятивистской теории электрона Дирака в обычном изложении, для электронов и для позитронов, которые рассматриваются как частицы противоположных частотностей, в общем решении уравнения Дирака ( 4 8.7), квантовомеханический оператор энергии эффективно записывается с разными знаками. [31]
Данное выше правило позволяет рассчитать энергию системы, зная ее волновую функцию. Квантовомеханический оператор энергии, представляющий собой наблюдаемую, есть гамильтониан. [32]
Если квантовомеханические операторы связаны между собой обычными соотношениями классической механик; , то достаточно получить выражение для одного оператора, чтобы построить затем полную систему операторов квантовой механики. Предельный переход к классической механике при й - 0 будет обеспечен автоматически, если только исходный оператор выбран правильно, с учетом этого условия. Такой подход представляется вполне правдоподобным, хотя и не строгим. [33]
Приведенное ниже рассмотрение относится как к классическим, так и к квантовым флуктуациям. Шляпки над квантовомеханическими операторами здесь не поставлены, чтобы не усложнять запись формул. [34]
Квадрат классической инверсии / 2 равен единице; он переводит в себя каждое физическое состояние, а следовательно, и каждый единичный луч в гильбертовом пространстве векторов состояния. Это значит, что квадрат квантовомеханического оператора инверсии О2 ее должен быть фазовым множителем. Вследствие унитарности 0а фазовые множители должны быть одинаковы в каждом когерентном пространстве. [35]
Мы видим, что в гейзенберговском представлении уравнения движения имеют вид обычных уравнений движения классической механики. В последних, однако, классическая координата х заменена квантовомеханическим оператором хн. [36]
Следует заметить, что при квантовом рассмотрении говорить об усреднении по объему можно, разумеется, не для самой физической величины, а лишь для ее оператора; вторая же стадия усреднения заключается в определении математического ожидания этого оператора с помощью квантовомеханических вероятностей. Поэтому, строго говоря, фигурирующие ниже электромагнитные величины надо понимать как квантовомеханические операторы. Это обстоятельство, однако, не отражается на окончательных результатах излагаемой в этом параграфе теории, и для упрощения записи формул мы рассматриваем все величины как классические. [37]
Следует заметить, что при квантовом рассмотрении говорить об усреднении по объему можно, разумеется, не для самой физической величины, а лишь для ее оператора; вторая же стадия усреднения заключается в определении математического ожидания этого оператора с помощью квантовомеханических вероятностей. Поэтому, строго говоря, фигурирующие ни лее электромагнитные величины надо понимать как квантовомеханические операторы. Это обстоятельство, однако, не отражается на окончательных результатах излагаемой в этом параграфе теории, и для упрощения записи формул мы рассматриваем все величины как классические. [38]
Это уравнение аналогично теореме Лиувилля в классической статистической механике. Заметим, что знак в уравнении (23.12) противоположен знаку в обычном гейзенберговском операторном уравнении для квантовомеханических операторов динамических величин. [39]
Поскольку спин не имеет классического аналога, отсутствует и соответствующее ему классическое соотношение, выраженное через координаты и импульс. В связи с этим невозможно получить в явном виде оператор спинового момента, пользуясь правилами написания квантовомеханических операторов. [40]
Оператор Гамильтона системы частиц может быть построен по той же схеме, которая была уже успешно применена к случаю одной частицы. Именно, следует написать классическое-выражение для функции Гамильтона, а затем заменить все входящие в него величины на квантовомеханические операторы. [41]
Математическая структура формул (5.7.46) и (5.7.47) наводит на мысль о причинах возникновения трудностей при попытке определить функцию яркости в рамках физической оптики. Эти формулы имеют ту же математическую структуру, что и выражения для обобщенных функций распределения в фазовом пространстве, известных также как квазивероятности, которые иногда используются при вычислении среднего значения квантовомеханических операторов при помощи методов, которые аналогичны методам, используемым в классической статистической механике ( ср. Вследствие того, что такие обобщенные функции распределения являются функциями с-числовых представителей некоммутирующих операторов, они не являются истинными вероятностями2 и, следовательно, они могут быть отрицательными или даже комплексными. [42]
Если в (2.11) выражение, заключенное в скобки, возвести в квадрат и перегруппировать члены, то гамильтониан можно представить в форме, в которой каждый член определяет некоторый физический процесс. Хотя квантовомеханические операторы г и р не коммутируют, в нашем случае не требуется соблюдать особую осторожность, Необходимую при обращении с некоммутирующими операторами. Действительно, вектор г X В перпендикулярен г, и, следовательно, скалярное произведение его на р не приводит к появлению некоммутирующего произведения. Чтобы получить окончательный вид гамильтониана, используем тот факт, что движущаяся частица с зарядом - е и массой т имеет магнитный момент т, который связан с механическим моментом. [43]
Если в (2.11) выражение, заключенное в скобки, возвести в квадрат и перегруппировать члены, то гамильтониан можно представить в форме, в которой каждый член определяет некоторый физический процесс. Хотя квантовомеханические операторы г и р не коммутируют, в нашем случае не требуется соблюдать особую осторожность, необходимую при обращении с некоммутирующими операторами. Действительно, вектор г X В перпендикулярен г, и, следовательно, скалярное произведение его на р не приводит к появлению некоммутирующего произведения. [44]
Как и в теории возмущений, не зависящих от времени, в конечном счете необходимо вычислить ожидаемое значение оператора возмущения между двумя интересующими нас состояниями. Хотя для вычисления вероятностей переходов иногда используется оператор скорости, чаще возмущение преобразуют к виду, включающему вместо скорости координаты. С этой целью следует воспользоваться коммутационными соотношениями для квантовомеханических операторов. Эти соотношения, в шредингеровском представлении квантовой механики, имеют такой же вид, как для соответствующих матриц в гейзенберговском представлении. В частности, соотношение (1.32) связывает производную по времени от какого-нибудь свойства с коммутатором этого свойства и гамильтониана. [45]