Cтраница 3
Это следует, во-первых, из формул ( 45 12), ибо фредгольмов оператор первого рода можно рассматривать как частный случай сингулярного оператора ( но уже не принадлежащего к нормальному типу), в котором коэффициенты А и В характеристической части тождественно равны нулю. [31]
Большую роль в привлечении внимания математиков к спектральной теории дифференциальных операторов сыграла монография Е. Ч. Титчмарша [1] - [2], в которой дан новый подход к теории сингулярных операторов второго порядка и поставлен ( частично под влиянием задач квантовой механики) и решен целый ряд новых задач. [32]
Прежде чем проиллюстрировать результаты предыдущего параграфа, мы исследуем структуру этих операторов из § 1 и, в частности, покажем, что многие операторы свертки и сингулярные операторы свертки, часто встречающиеся в анализе, принадлежат алгебре ЭД. [33]
Задачи статики, в известном смысле, являются модельными для других задач; поэтому в этой главе на примере статических задач подробно будут рассмотрены такие вопросы, как доказательство фредгольмовости основных сингулярных операторов, различные теоремы вложения, вопросы корректности и др., имеющие общее значение и применяемые и в других главах. [34]
Изучим ближе сингулярные операторы, введенные в предыдущем параграфе. [35]
В третьей главе было показано, что задача обращения сингулярных операторов тесно связана с факторизацией функций. В случае, когда коэффициенты сингулярного оператора не являются непрерывными, сингулярный оператор может в одних пространствах быть обратимым с какой-либо стороны, а в других пространствах не быть обратимым ни с какой стороны ( см, гл. В этих случаях естественно оаддать, что и факторизация функций как-то связана с пространством. [36]
Заметим, что внесение в оператор К, еще и регулярных слагаемых не отражается на символе. Доказано, что оператор, являющийся композицией двух сингулярных операторов, будет иметь символ, равный произведению символов исходных операторов. [37]
Заметим, что внесение в оператор К еще и регулярных слагаемых не отражается на символе. Доказано, что оператор, являющийся композицией двух сингулярных операторов, будет иметь символ, равный произведению символов исходных операторов. [38]
В третьей главе было показано, что задача обращения сингулярных операторов тесно связана с факторизацией функций. В случае, когда коэффициенты сингулярного оператора не являются непрерывными, сингулярный оператор может в одних пространствах быть обратимым с какой-либо стороны, а в других пространствах не быть обратимым ни с какой стороны ( см, гл. В этих случаях естественно оаддать, что и факторизация функций как-то связана с пространством. [39]
Сингулярные интегральные операторы Михлина [17] и Зигмунда - Кальдерона интенсивно изучались в последние годы. Особое значение в этих работах было придано преобразованию Фурье, в результате сингулярные операторы исчезли, а термин псевдодифференциальный оператор стал более предпочтительным. [40]
А, к-рый строится с помощью функции a, g, причем по данному символу сингулярный оператор восстанавливается с точностно до вполне непрерывного слагаемого. Композиции сингулярных операторов соответствует произведение их символов. Доказано [7], что при иек-рых ограничениях уравнение ( 11) допускает регуляризацию в пространстве Ьр, р1, тогда и только тогда, когда модуль его символа имеет положительную нижнюю грань и в этом случае справедливы теоремы Фредгольма. [41]
В отечественной монографической литературе первое изложение спектральной теории для сингулярных операторов второго порядка было дано одним из авторов ( Б. М. Левитан [1]), который также предложил новый метод обоснования этой теории. Идея этого метода очень проста и состоит в том, что основные спектральные соотношения для сингулярного оператора получаются из соответствующих соотношений в регулярном случае с помощью предельного перехода. Этот метод и результаты вышеуказанной монографии широко используются в настоящей книге. Однако данная монография ни в коем случае не может рассматриваться как расширенное издание той монографии. Изменения и добавления настолько значительны, что эта книга несомненно является новой. [42]
В этом случае перестановка порядка интегр я рования приводит, как ив одномерном случае, к совершенно иному результату. Отметим, что использование разложений характеристик f ( qo Q) и Ь ( 7о, 6) в ряд Фурье позволяет получить для интегра-ла (3.26) представление, в которое входят степени одного простейшего сингулярного оператора. [43]
В этом случае перестановка порядка интегрирования приводит, как и в одномерном случае, к совершенно иному результату. Отметим, что использование разложений характеристик i ( qo, б) и fi ( q0 Q) в ряд Фурье позволяет получить для интеграла (3.26) представление, в которое входят степени одного простейшего сингулярного оператора. [44]
А, к-рый строится с помощью функции a, g, причем по данному символу сингулярный оператор восстанавливается с точностно до вполне непрерывного слагаемого. Композиции сингулярных операторов соответствует произведение их символов. Доказано [7], что при иек-рых ограничениях уравнение ( 11) допускает регуляризацию в пространстве Ьр, р1, тогда и только тогда, когда модуль его символа имеет положительную нижнюю грань и в этом случае справедливы теоремы Фредгольма. [45]