Cтраница 2
Мы будем исходить из определения умножения операторов при том порядке следования, который принят в [3], стр. [16]
В силу данного выше определения умножения функции на меру в правой части этого равенства стоит мера, в левой части - обобщенная производная, которая также может трактоваться как мера. В этом смысле равенство (1.1) не содержит никаких противоречий. Однако в действительности оно неверно. [17]
Распространить на общий случай определение умножения обыкновенных комплексных чисел трудно. Оно может быть осуществлено различными путями, и при этом будут получаться различные системы гиперкомплексных чисел. Поэтому прежде всего следует уяснить, что должно быть достигнуто таким определением. Несомненно желательно, чтобы определяемые нами действия над гиперкомплексными числами были похожи по своим свойствам на обычные действия с действительными числами. [18]
Тогда векторы а и Ъ кол-линеарны по определению умножения вектора на число и определению коллинеарности. [19]
Теорема ( 2 1) показывает, что такое определение умножения в Т ( Х) корректно. [20]
Факт 4 - / 5р6ч - 6х5 следует из определения умножения как ловторяемого сложения. [21]
Из равенства (1.27) видно, что если введенное выше определение умножения выполняется, то операторы аир оказываются коммутирующими. Разумеется, коммутативный закон умножения имеет место всегда для алгебраических чисел, но для других математических величин он может быть и неверным. Так, например, матрицы этому закону не подчиняются, так же как и многие простые алгебраические операторы. [22]
Формула (3.2) следует из о правила сложения векторов и одновременно из определения умножения векторов на скаляры. [23]
Так что и в книге [1 ] Рассел не замечает подвоха в уайтхедов-ском определении умножения, хотя при переводе его на обычный язык ( у Уайтхеда оно было записано на языке Пеано), казалось бы, нельзя не заметить явного применения общей аксиомы выбора, а затем, поскольку Уайтхед, введя определение понятия мультипликативного класса, тут же ( молчаливо) принимает существование такого класса, что вслед за ним делает и Рассел, и эквивалентности форм В и С аксиомы выбора. Ни Рассел, ни Уайтхед не заметили этого. В то же время они усомнились даже в слабых версиях этой аксиомы, о чем говорилось чуть выше, а в [1 ] Рассел выразил сомнения в таких ее эквивалентах, как сравнимость любых кардинальных чисел и возможность вполне упорядочить всякое множество ( с. Кажется, лишь в 1906 г., уже в разгар полемики об аксиоме выбора, он мимоходом упомянул о своем сомнении в мультипликативной форме аксиомы выбора [ 2, с. [24]
Все аксиомы линейного множества, как можно легко проверить, при выбранном определении умножения на число и сложения для [ X - Y ] будут выполняться. [25]
Как и в случае суммы, мы должны быть уверены, что определение умножения не зависит от выбора представителей классов. [26]
Проводя в-жизнь идею Дедекинда, следует, конеч но, начать с определения умножения идеалов. [27]
Если b ka или а Ь, то коллинеарность векторов вытекает из определения умножения вектора на число. [28]
Легко видеть, что характеры коммутативной группы G образу ют, относительно этого определения умножения, группу характеров, которая обозначается через G. Можно показать, что группа G для коммутативной группы G не только имеет тот же порядок, что и G, но и изоморфна ей как абстрактная группа. [29]
Указанное выше отображение f группы G на смежные классы по нормальному делителю Н, при определении умножения классов смежности как подмножеств группы G, представляет собой гомоморфизм. [30]