Cтраница 3
Другим примером является следующий принцип индукции, соответствующий индуктивному определению доказуемой формулы: пусть каждая аксиома обладает некоторым свойством и пусть, коль скоро посылки применения какого-либо правила формального вывода обладают этим свойством, то и заключение обладает этим свойством, тогда рассматриваемым свойством обладает каждая доказуемая формула. [31]
Аксиомы 1) - 3) выражают в нашем языке индуктивное определение класса К функций, заданных законом. К определена на кортежах натуральных чисел. [32]
Наилучшее определение двусторонности многообразий есть, на мой взгляд, следующее индуктивное определение, принадлежащее В. А. Ефремовичу ( и изложенное им в работе, печатающейся в настоящее время в Math. Единственное замкнутое одномерное многообразие - - окружность - по определению считается двусторонним. Пусть определены все двусторонние ( п - 1) - мерные многообразия, n - мерное многообразие Мп называется двусторонним, иди ориентируемым, если для всякого лежащего в нем ( п - 1) - мерного двустороннего многообразия Ж 1 - 1 можно найти содержащую Мп - 1 связную область Gn многообразия Жи, которая многообразием Jfn - 1 разбивается на две области. [33]
Это рассуждение зависит, конечно, от косвенного пункта 3 индуктивного определения. [34]
Подобное задание ( индуктивного порождения) некоторого класса объектов называют обобщенным индуктивным определением. Поскольку речь идет о построении некоторого описания, предполагается использование для этого языка. [35]
Читатель легко может сделать это определение более полным, придав ему вид индуктивного определения, построенного параллельно определению формулы формальной системы гл. Предикаты, арифметические по Геделю, это в точности те предикаты, которые могут быть выражены в этой системе, при обычной интерпретации символов, посредством называющих форм. Сопоставляя это с формальным изложением в § § 39 и 41, убеждаемся в том, что а b и пи ( с, d) w - предикаты, арифметические по Геделю. [36]
Все три пункта вместе образуют пример того, что мы будем называть индуктивным определением. Определяемый термин ( натуральное число) выделен курсивом. [37]
Нам надо проверить, что указанный порядок является полным и что выполнены требования индуктивного определения степени. [38]
Согласно результату, упомянутому в конце § 53 ( и следствию из теоремы IV), индуктивные определения ( с конструктивными прямыми пунктами) приводят в точности к тому же самому классу предикатов. Ввиду той роли, которая часто отводится индуктивным определениям при определении формальных систем, это обстоятельство тесно связано с предыдущим. [39]
Условие полноты алгебры А использовалось только для того, чтобы были выполнимы все бесконечные операции, фигурирующие в индуктивном определении отображения a. А - обобщенная алгебра типа § 6, ( 1), все бесконечные операции, фигурирующие в определении отображения O R ( V) ( при помощи § 6, ( 4) или 6.5), будут выполнимы, хотя алгебра А и не является полной. Это расширение понятия реализации не является существенным. Действительно, любую обобщенную алгебру А можно расширить до полной однотипной ей алгебры А ( см. I, § 4, стр. [40]
Имеется специальный случай, когда применимость закона исключенного третьего все же может быть доказана интуиционистски, а именно ( в случае индуктивного определения класса), когда порядок, в котором согласно индуктивным пунктам появляются элементы этого класса, совпадает с тем порядком, в котором эти элементы порождаются согласно фундаментальному индуктивному определению. Из этой второй формы мы получаем вполне соответствующий арифметический предикат ( Ey) [ Pf ( y) & ( y) 0 d ] ( см. Dn 12), который имеет вид ( Ey) R ( d y), где предикат R примитивно-рекурсивен. [41]
Основное наблюдение состоит в том, что 1-отрезков в слове W сравнительно немного, и их нетрудно перечислить, исходя из индуктивного определения развертки. W являются отрезки WL. [42]
Еще более общая ситуация, чем (), заключается в том, что несколько функций одновременно ( совместно) участвуют в индуктивном определении. [43]
Строгое доказательство этого факта дается леммой 2 ( § 7, пример 2) вместе со следующей леммой, которую можно доказать по индукции, исходя из индуктивных определений терма и формулы. [44]
Тогда из точной последовательности ( 6) следует, что группа Ext ( ЛГ, Л) изоморфна Ext 1 ( L, Л), и мы получили индуктивное определение наших функторов. [45]