Cтраница 3
Системы Бернулли с максимальным инвариантным разбиением сходны с / ( - автоморфизмами. Теорема 4.52 соответствует тогда тому факту, что системы Бернулли являются / С-системами. Отмеченная аналогия еще более усиливается принадлежащим Орнстейну [102] примером недополняемого инвариантного разбиения, которое является максимальным, что отвечает существованию небернуллиевских / ( - систем. Этот пример строится как косое произведение автоморфизма Бернулли и двухэлементного семейства, один из членов которого - небернуллиев-ский / ( - автоморфизм. [31]
Мы также обобщим высказанные в разд. Эти обобщения являются ключевыми для развития теории Орнстейна. [32]
Заметим, что доказанная теорема утверждает, что энтро-п я - это полный инвариант для относительных изоморфизмов в классе систем Бернулли с дополняемыми инвариантными разбиениями. Указанную аналогию продолжают глубокие результаты Тувено [156], который пере-лее ттонятие конечной определенности на случай относительных изоморфизмов и доказал аналоги ряда лемм Орнстейна. [33]
Большого успеха в решении этой проблемы добился американский-математик Орнстейн. Бернулли с равной энтропией метрически изоморфны, а затем перенес этот результат на гораздо более широкий класс динамических систем ( так называемые очень слабо бернуллиевские системы), включающий в себя автоморфизмы Марков и многие классические динамические системы, такие, как эргодические автоморфизмы коммутативных компактных групп, геодезические потоки на компактных многообразиях отрицательной кривизны, некоторые бильярдные системы. С другой стороны, Орнстейн построил примеры Х - систем, неизоморфных никакому автоморфизму Бернулли. Тем самым оказалось, что и в классе Й - систем энтропия не составляет полной системы метрических инвариантов. Орнстейн и Шилдс показали, что число неизоморфных типов Х - систем с одинаковой энтропией несчетно. [34]
Спектральные инварианты не могли различить сдвиги, порожденные схемами Бернулли, поскольку все они имеют один и тот же счетнократный лебеговский спектр; Колмогоров доказал, что энтропия схемы Бернулли равна энтропии соответствующего сдвига и потому является инвариантом динамической системы. Вскоре Мешалкин [1959], Блюм и Хансон ( Blum, Hanson [1963]), Лившиц [1974] построили нетривиальные примеры кодирования схем Бернулли с одинаковой энтропией. Орнстейна в начале 70 - х годов. [35]
Таким образом, индикатриса рассеянного света является несимметричной кривой. Асимметрия индикатрисы тем сильнее выражена, чем больше радиус корреляции L. В этом отношении роль радиуса корреляции аналогична радиусу частицы при рассеянии света на крупных частицах. При 9 0 правая часть соотношения ( 5) в критической точке обращается в бесконечность. Позднее в ряде работ [11, 12, 13] теория Орнстейна и Зернике получила более твердое обоснование и детализацию. [36]
Важный вклад в изучение этих семейств был сделан Фельдманом [38], построившим пример эргодического метрического автоморфизма с нулевой энтропией, который не эквивалентен по Какутани повороту окружности на иррациональный угол. Тем самым было показано, что Ж0 содержит по меньшей мере два класса. Пример Фельдмана также позволяет построить / ( - автоморфизм, который не эквивалентен по Какутани никакому автоморфизму Бернулли. Этот / С-автоморфизм неизоморфен небернуллиевским / ( - автоморфизмам Орнстейна и Шилдса. [37]
Большого успеха в решении этой проблемы добился американский-математик Орнстейн. Бернулли с равной энтропией метрически изоморфны, а затем перенес этот результат на гораздо более широкий класс динамических систем ( так называемые очень слабо бернуллиевские системы), включающий в себя автоморфизмы Марков и многие классические динамические системы, такие, как эргодические автоморфизмы коммутативных компактных групп, геодезические потоки на компактных многообразиях отрицательной кривизны, некоторые бильярдные системы. С другой стороны, Орнстейн построил примеры Х - систем, неизоморфных никакому автоморфизму Бернулли. Тем самым оказалось, что и в классе Й - систем энтропия не составляет полной системы метрических инвариантов. Орнстейн и Шилдс показали, что число неизоморфных типов Х - систем с одинаковой энтропией несчетно. [38]
В последних четырех главах дается описание тех разделов теории информации, эргодической теории, статистической механики и топологической динамики, на которые понятие энтропии оказало наиболее сильное влияние. Эти главы можно читать независимо друг от друга. Примеры показывают, как идеи, возникшие в одной области, воздействовали на другие области. Недавние применения энтропии в статистической механике и топологической динамике приводятся в гл. В главе 4, посвященной эргодической теории, описывается развитие принадлежащей Колмогорову идеи применения энтропии Шеннона к изучению автоморфизмов пространств с конечной мерой. Кульминацией этой деятельности явилось приведенное в этой главе доказательство теоремы Колмогорова - Орнстейна об изоморфизме. [39]