Cтраница 3
Зная частное решение фр ( т, ц), можно найти коэффициенты разложения А ( ц0 ] и Л ( т)) при условии, что решение (12.57) удовлетворяет граничным условиям (12.56), используя свойство ортогональности собственных функций, а также различные интегралы нормировки, рассмотренные в гл. [31]
Первое невозможно по предположению. Ортогональность собственных функций доказана. [32]
Эрмитовы операторы важны в квантовой теории потому, что их собственные значения вещественны; операторы, соответствующие наблюдаемым физическим величинам, должны быть эрмитовыми. Другим следствием эрмитовости является ортогональность собственных функций, соответствующих различным собственным значениям эрмитовых операторов. [33]
Если каждый из отдельных пучков снова пропустить через магнитное поле, параллельное той же оси г, то дальнейшего расщепления не произойдет, так как Mz в каждом из этих пучков имеет одно определенное значение, а не весь набор в интервале - / &: /, как зто было в исходном пучке. Отсюда хорошо виден смысл ортогональности собственных функций. Если частица находится в пучке, которому соответствует данное значение А, то вероятность найти ее в пучке с другим значением проекции М2 hk hk равна нулю. [34]
Ортогональность собственных функций лежит в основе спо-собд определения неизвестных коэффициентов в разложении произвольных функций по собственным функциям. Эта методика аналогична использованию свойства ортогональности собственных функций в классическом методе разложения по ортогональным фун-кциям. В данном разделе рассмотрена ортогональность собственных функций при разложениях в полном и половинном диапазонах. [35]
Математическая особенность задач с неортогональными собственными функциями состоит в том, что параметр К, имеющий физический смысл частоты или постоянной распространения, входит в дифференциальные уравнения в виде полиномов, а также содержится в выражениях для граничных условий. В ней исследованы вопросы полноты и ортогональность собственных функций дифференциальных уравнений, содержащих параметр К в виде полинома степени п с граничными условиями, не содержащими этого параметра. [36]
Операторы, для которых оно выполняется, называют эрмитовыми операторами. В последующем изложении мы увидим, что ортогональность собственных функций связана с эрмитовостью оператора. [37]
Коэффициенты Тп определяются в зависимости от начальных условий. В работе [81 ] эти коэффициенты определены исходя из ортогональности собственных функций. [38]
Коэффициенты Тп определяются в зависимости от начальных условий. В работе [116] эти коэффициенты определяются исходя из ортогональности собственных функций. [39]
Согласно теореме полноты для половинного интервала, сформулированной в гл. Входящие в эти уравнения коэффициенты разложения можно выделить, используя свойство ортогональности собственных функций и описанные ниже различные интегралы нормировки. [40]
Ортогональное преобразование координат означает поворот координатных осей. В самом деле, как можно убедиться путем подстановки, свойство ортогональности собственных функций не нарушается таким преобразованием. Поэтому мы предположим, что а исходных функций ф уже удовлетворяют условию ортогональности. [41]
Функция / ( 0, л), определенная в положительной половине диапазона изменения i, представлена в ( 10.96 а) в виде разложения по собственным функциям; законность такого представления основана на приведенной выше теореме полноты для половинного диапазона. Коэффициенты разложения Л ( т) 0) и Л ( т ]) могут быть определены с помощью соотношений ортогональности собственных функций в половине диапазона i и различных интегралов нормировки. [42]
Умножим обе части уравнения ( 71) на / т и проинтегрируем по всему пространству. Преобразуем интеграл в левой части уравнения по формуле Грина ( 68) в поверхностный интеграл по сфере бесконечно большого радиуса, тогда вследствие равенства нулю собственных функций на бесконечности левая часть уравнения равна нулю, и ортогональность собственных функций доказана. [43]
Ортогональность собственных функций лежит в основе спо-собд определения неизвестных коэффициентов в разложении произвольных функций по собственным функциям. Эта методика аналогична использованию свойства ортогональности собственных функций в классическом методе разложения по ортогональным фун-кциям. В данном разделе рассмотрена ортогональность собственных функций при разложениях в полном и половинном диапазонах. [44]
Так как явный функциональный вид для взаимно ортогональных собственных функций известен, задача сводится к определению системы коэффициентов ( или амплитуд) при собственных функциях в разложениях поля в каждой из частичных областей. Для полного решения задачи необходимо потребовать выполнения условий непрерывности полей на общих границах частичных областей. Это требование и использование свойств ортогональности собственных функций приводит обычно к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений для неизвестных амплитуд собственных волн. Найти точное решение бесконечной системы уравнений в общем случае невозможно, и обычно ограничиваются получением приближенного решения с помощью методов редукции или последовательных приближений. Существует, однако, целый класс краевых задач, для которых получающиеся бесконечные системы уравнений допускают точное решение. [45]