Cтраница 1
Основания математики явились первой, но далеко не последней жертвой удара. Выражение и родственные системы в заглавии Геделевой статьи говорит о многом. Если бы результат, полученный Геделем, указывал бы только на дефект в работе Рассела и Уайтхеда, другие математики могли бы попытаться исправить ошибки в Основаниях математики и перехитрить теорему Геделя. Однако это оказалось невозможным: теорема Неделя была приложима ко всем аксиоматическим системам, ставившим своей целью то же, что и система Рассела и Уайтхеда. [1]
Хотя основания математики традиционно относятся к математической логике, в настоящем учебнике не ме сто вдаваться. [2]
Драгалина на основания математики был близок к концепции Брауэра, но во многом отличался от нее. Эта точка зрения присутствовала и в его курсах; можно найти ее и в книге, и в ряде работ: общие философско-математические концепции допускают различные формулировки и уточнения, причем часто оказывается, что одни из них несовместимы с другими. Математика ( как и вообще наука) представляет собой огромную открытую область, в которой человек-исследователь видит лишь очень ограниченную часть. Вопрос о том, существует ли математическая реальность вне нашего знания, он, по-видимому, считал неправомерным. Вот одно из его замечаний ( насколько я помню): Какой конструктивизм - правильный. Этот вопрос не имеет смысла. Нельзя спрашивать, верен ли тезис Черча на самом деле. [3]
Такое построение оснований математики с помощью единственного универсума обеспечивает ( в рамках теории множеств) корректный способ рассмотрения категорий всех малых множеств и всех малых групп. Но здесь отсутствуют множества для реализации некоторых метакатегорий, таких как метакатегория всех множеств или всех групп. Гротендик использует иной подход. Он принимает, что для каждого множества X имеется универсум U такой, что X Е U. Ясно, что это, более сильное, допущение обеспечивает для каждого универсума U существование категории всех тех групп, которые являются элементами из U. Однако отсюда не возникает категория всех групп. По этой причине серьезно обсуждалась возможность построения теории категорий ( и всей математики) вне рамок теории множеств. Вот почему мы вначале дали определение категории С без использования понятия множества, рассматривая аксиомы просто как аксиомы первого порядка с неопределяемыми терминами объект категории ( 7, стрелка в категории ( 7, композиция, единица, область и кообласть. [4]
Наиболее отчетливо определены основания математики и метаматематика, которые изучаются на математико-механи-ческих факультетах как учебные дисциплины. В рамках философии существует метатеория, которую называют метафилософией, философией философии или теорией философского знания [ Алексеев. Основными проблемами этой науки являются: предмет философии, ее мировоззренческие и методологические функции, аспекты философского знания. Имеются публикации по метахимии, метабиологии, метапсихологии и другим метанаукам. [5]
Удовлетворительного решения вопросов оснований математики такой способ дать не может, и мы находимся здесь перед существенным затруднением. Однако содержание формализмов не обязано быть всегда теоретико-множественным. Критический пересмотр основ теории множеств принес иные, не теоретико-множественные представления, которые способны составить содержание формализмов, свободное от тех элементов теоретико-множественной концепции, которые вызывают сомнение. [6]
Впрочем, вне оснований математики это ограничение не является обязательным. Если нас интересует не столько вопрос об интуитивной ясности 7, сколько просто факт о выводимости или невыводимости нек-рых формул в 7, естественно исследовать Т средствами любой исторически сложившейся и убедительной для исследователя математич. [7]
Сам процесс конституирования базовых оснований математики начинается с формирования априорных предпосылок как базовых для этого конституирования. Дело в том, что не только базовые теоретические представления математики, но и ее онто-гносеологические предпосылки, на основе которых конституируются эти базовые теоретические представления, априорны, то есть инвариантны относительно любых форм социокультурного опыта. Эти предпосылки также актуализируются под влиянием опыта, но содержательно от опыта никоим образом не зависят. Актуализация онто-гносеологических предпосылок математики по сравнению с базовыми теоретическими представлениями математики требует иного опыта - не опыта математического мышления, а опыта непосредственного восприятия внешнего мира, внешних впечатлений. Никакое знакомство с математикой на этом этапе еще не является необходимым, да, строго говоря, оно и невозможно, так как для него нет необходимой опорной базы, что будет пояснено здесь в дальнейшем. Для указанной актуализации онто-гносеологических предпосылок математики вполне достаточно потока сознания как условия активных контактов мышления с внешним миром. [8]
Другой подход к основаниям математики был связан с критикой ряда положений, которые использовались в математике без должного обоснования. Это относится, в частности, к неограниченному использованию закона исключенного третьего и аксиомы выбора. Развивающийся в Советском Союзе А. А. Марковым и его последователями конструк тивистский подход к основаниям математики также связан с критическим подходом к допустимым логическим средствам в математике и систематически использует понятие алгоритма при конструктивистском воспроизвел дени и математических результатов. [9]
Функциональные уравнения в основаниях финансовой математики ( итал. [10]
Исключение составляют книги по основаниям математики, где критически исследуют и сами правила логического вывода и обоснованность использования понятий, относящихся к множествам. [11]
Рейтинга является монографией но основаниям математики. Вопросы оснований математики ( теория математического доказательства, проблема существования в математике) рассматриваются в ней с точки зрения интуиционизма - течения в математике, видным представителем которого является автор. [12]
ЛОГИЦИЗМ, направление в основаниях математики кон. ЛОГИЧЕСКАЯ ОПЕРАЦИЯ, операция над числами ( обычно в двоичной системе счисления), выполняемая по правилам алгебры логики. ЛОГИЧЕСКАЯ ОШИБКА, вызывается нарушением правил или законов логики; признак формальной несостоятельности содержащих ее определений, рассуждений, выводов и доказательств. [13]
ЛОГИЦИЗМ, направление в основаниях математики кон. ЛОГИЧЕСКАЯ ОПЕРАЦИЯ, операция над чис лами ( обычно в двоичной системе счисления), выполняемая по правилам алгебры логики. ЛОГИЧЕСКАЯ ОШИБКА, вызывается нарушением правил или законов логики; признак формальной несостоятельности содержащих ее определений, рассуждений, выводов и доказательств. [14]
ЛОГИЦИЗМ, направление в основаниях математики кон. ЛОГИЧЕСКАЯ ОПЕРАЦИЯ, операция над числами ( обычно в двоичной системе счисления), выполняемая по правилам алгебры логики. ЛОГИЧЕСКАЯ ОШИБКА, вызывается нарушением правил или законов логики; признак формальной несостоятельности содержащих ее определений, рассуждений, выводов и доказательств. [15]