Cтраница 3
В целом представляется, что связи между априорными основаниями математики и социокультурными ориентирами человечества все же существуют, однако природа их совершенно иная, нежели это трактует социокультурная философия математики. На основании полученных выводов представляется, что не основания математики зависят от изменяющихся социокультурных ориентиров эпохи, а, напротив, определенная социокультурная тенденция, а именно, тенденция рациональная, осуществляющаяся в развитии современной цивилизации, настоятельно требует первичного признания априорности оснований математики. [31]
Все эти ведущие ученые, работающие в основаниях математики, сходятся на том, что математика - одна из разновидностей человеческой деятельности и потому, как и все творения человека, не лишена слабостей и недостатков. Всякое чисто формальное, чисто логическое объяснение - не более чем псевдоматематика, фикция, даже легенда, хотя и не лишенная оснований. [32]
Во многих случаях топосы позволяют по-новому взглянуть на основания математики; например, применение форсинга в доказательстве независимости континуум-гипотезы хорошо описывается посредством конструкций в топосах ( см. Mac Lane, Moerdijk [1992], Ch. Кроме того, соответствующие топосы могут заменить категорию множеств как основу математики. [33]
В рамках излагаемого подхода будет доказано, что базовые основания математики априорны, то есть представляют собой категории - универсальные нормы знания, возникающие из его общей цели и не зависимо от его содержания. [34]
Вейль дает здесь краткий и доступный обзор проблематики оснований математики в первой трети двадцатого века для общематематической аудитории, упоминая и некоторые более поздние результаты. Несколько более субъективно и эмоционально, чем другие точки зрения, описан подход самого Вейля к построению математического анализа, изложенный в книге Континуум, перевод которой включен в настоящий сборник. Так Вейль называет совокупность, которая настолько проста, что обеспечено выполнение законов обычной ( классической) логики для любых свойств ее элементов. [35]
Один из наиболее глубоких философов, занимавшихся проблемами оснований математики, Людвиг Виттгенштейн заявил, что математика - не просто создание человеческого разума, она испытывает на себе сильное влияние тех культур, в рамках которых развивается. [36]
Исследование особенностей развития математики невозможно без определения статуса базовых оснований математики, к которым обычно относят основные понятия и аксиомы геометрии, а также числовую ось. [37]
При описанном подходе к дедуктивному методу вопрос об основаниях математики приобретает совершенно новый смысл. Проблема с головы ставится на ноги. Основанием дедуктивной теории оказывается не система аксиом и не логика теории, а совокупность эмпирических фактов, которую эта теория описывает. Возможность противоречий теряет свой фатальный характер, но возникает вопрос об определении границ, в которых теория не содержит противоречий и не содержит ложных проверяемых утверждений. Одна и та же совокупность эмпирических фактов может быть описана различными дедуктивными теориями. Расширение совокупности эмпирических фактов может приводить к необходимости изменения системы аксиом или системы правил вывода, или и того и другого. [38]
Упомянем еще работы, в которых с точки зрения оснований математики анализируются сами конструктивные процессы итераций, например шаги построения натурального ряда классифицируются на достижимые и недостижимые. [39]
Одной из основных задач математической логики ос тается анализ оснований математики. Но в настоящее врется она уже вышла из рамок этой задачи и оказала существенное влияние на развитие самой математики. Из ее идей возникло точное определение понятия алго ритма, что позволило решить многие вопросы, которые без этого оставались бы в принципе неразрешимыми. Возникший в математической логике аппарат нашел приложение в вопросах конструкций вычислительных-машин и автоматических устройств. [40]
Итак, Гильберт самым серьезным образом обращается к проблемам оснований математики. [41]
Рассел и Уайтхед считали именно так - их труд Основания математики ( ОМ) был титаническим усилием, направленным на изгнание Странных Петель из логики, теории множеств и теории чисел. В основе их системы лежала следующая идея. [42]
Такой подход, играющий чрезвычайно важную роль в проблемах оснований математики, существенно связан с требованием практич. [43]
Гильберта; применение их для решения такой важнейшей проблемы оснований математики и логшш, как непротиворечивость, не только не согласуется с финитной установкой Гильберта, но и по существу приводит ( хотя бы ввиду наличия в теории множеств парадоксов) к порочному кругу. Это обстоятельство, однако, не снимает задачи теоретпко-мно-жеств. К числу таких проблем относится прежде всего проблема полноты дедуктивной исчисления предикатов, понимаемой в содержательно-семантическом смысле, п связанное с этой проблемой понятие произвольной интерпретации, носящее нефинитный, неконструктивный характер. Тем более это относится к представлению о совокупности всех интерпретаций и определяемому с помощью этого представления понятию о б щ е з и а-ч п м о с т п суждения. Геделя о полноте исчисления предикатов, и теорема Левенхейма - Сколема об интерпретируемости на натуральном ряде чисел любой непротиворечивой теории. Еще более выраженный теоретпко-мпожеств. [44]
Теорема Геделя о неполноте имеет исключительно важное значение для оснований математики. [45]