Cтраница 2
Для некоторых проблем из области оснований математики также требуется эффективная вычислимость функции, определение которой нужно иметь только на собственной части натурального ряда. Это встречается в теории конструктивных порядковых чисел. [16]
Две последовательные эры исследований по основаниям математики в девятнадцатом столетии, достигшие своего наивысшего развития в теории множеств и арифметизации анализа, сменились около 1900 г. новым кризисом и новой эрой, отмеченной господством программ Рассела и Уайтхэда, Гильберта и Брауэра. [17]
Обзор работ советских ученых по основаниям математики, математической логике и ее приложениям мы даем здесь, вообще говоря, в хронологическом порядке. [18]
Известные трудности, ощущавшиеся в основаниях математики после открытия дифференциального и интегрального исчислений, казалось, были преодолены путем построения математики на основе теории множеств Кантора. Исторически это обстоятельство заставило обратиться к изучению аксио-матнч. [19]
Доказательство этой теоремы приведено в Основаниях математики Гильберта и Бернайса ( [ I ], том 2, стр. [20]
Декарту, является именно априорная истинность оснований математики, именно указанные основания математики и подлежат сохранению. [21]
ЛОГИЦИЗМ - одно из направлений в основаниях математики, ставящее целью обосновать математику путем сведения ее исходных понятий к понятиям логики. Взгляд на математику как на часть логики обусловлен тем, что любую математич. Остается только все встречающиеся в таких утверждениях константы определить через логич. [22]
Действительно, единственным позитивным утверждением в основаниях математики, против которого я выступаю, является утверждение, что классическая математика имеет ясный смысл. [23]
Для широкого круга читателей, интересующихся вопросами оснований математики, книга Гильберта и Бернайса Основания математики привлекательна тем, что в ней основополагающие идеи теории доказательств излагаются более обстоятельно и менее формализованно, чем где-либо в другом месте. Можно думать, что выход в свет книги Гильберта и Бернайса на русском языке будет с удовлетворением встречен в нашей стране не только специалистами по математической логике, но также и всеми квалифицированными математиками, которые в той или иной мере интересуются вопросами оснований математики, ролью математики в современной науке, глубокими проблемами, стоящими перед математикой и математиками независимо от их узкой специальности. [24]
Описанные нами идеи, возникшие из вопросов оснований математики, как это часто бывает, в своем развитии вышли из первоначального круга своих задач. [25]
В этой книге Вейль намечает программу перестройки оснований математики на арифметической основе. История вопроса и основные предпосылки изложены в его работе Математика и логика ( см. настоящую книгу), и мы не будем на этом останавливаться, а опишем связь идей и конструкций Вейля с современными построениями. [26]
Таким образом, представляется, что априорность оснований математики оказывает определяющее влияние на содержание социокультурной деятельности человечества, в целом стремящегося сделать ее не просто непрерывной, но и рациональной. Элементарный историко-философский анализ показывает, что именно эта тенденция в развитии человечества всегда, в конечном счете, побеждает. Думается, что рационализм в широком смысле, придаваемом ему его провозвестниками - рационалистами XVII в. Спинозой, далеко еще не исчерпал своего потенциала, и вполне возможны повороты в историческом развитии рационализма, дающие вновь приемлемые перспективы. Представляется далеко не тривиальным тот факт, что математический априоризм, утверждающий внеопытное происхождение и социокультурную инвариантность оснований математики, и тем самым вроде бы отрывающий математику от социокультурной практики человечества, при той основополагающей роли, которую математика играет в современном мире, тем не менее, имеет и важнейшее социокультурное значение, поскольку неявно определяет социокультурную стратегию общества. [27]
Установлено, что только при условии априорности оснований математики рациональный социокультурный контекст, задаваемый этими априорными основаниями математики, будет сохраняться и развиваться в истории человечества, что свидетельствует о первичности онто-гносеологических оснований математики по отношению к социокультурным ориентирам. Тем самым определена глобальная базовая роль априорных оснований математики в наращивании последующих элементов личностно-индивидуального комплекса неявного знания, а также в формировании нового математического знания. [28]
Короче говоря, революционная программа Лейбница построения формальных оснований математики осуществилась, но незаметно: под здание математики подвели новый ( и довольно прочный) фундамент, но большинство жильцов про это до сих пор не знают. [29]
Мы не затрагиваем проблем, связанных с основаниями математики, и всюду стоим на почве наивной теории множеств, безоговорочно используя аксиому выбора и ее эквиваленты. [30]