Cтраница 3
Твердое тело ( Л В С) может свободно вращаться вокруг неподвижного центра инерции. В начальный момент телу сообщают достаточно большую угловую скорость Л относительно наименьшей ( наибольшей) оси эллипсоида инерции. [31]
В главах 2 и 3 рассмотрены либрационные движения спутников. Здесь показано, что гравитационные моменты обеспечивают устойчивое относительное равновесие спутника на круговой орбите при расположении наибольшей оси эллипсоида инерции спутника по радиусу-вектору орбиты, наименьшей оси - по нормали к плоскости орбиты и, следовательно, средней оси - по касательной к орбите. Исследованы плоские и пространственные колебания около этого положения. На эллиптической орбите такого относительного равновесия не существует. Но анализ нелинейных колебаний на эллиптической орбите показывает наличие устойчивых периодических ( эксцентриситетных) колебаний около направления радиуса-вектора. Исследованы условия появления резонанса в плоских и пространственных колебаниях. [32]
Сравнивая полученное уравнение с уравнением ( 11), видим, что все центробежные моменты инерции в системе осей Ox y z обратились в нуль. Этим доказывается существование в каждой точке твердого тела трех взаимно перпендикулярных главных осей инерции; они совпадают по направлению с осями эллипсоида инерции тела в этой точке. Моменты инерции ], / 2, / з представляют собой главные моменты инерции. [33]
Из всего сказанного следует также, что тело, закрепленное в центре масс в центральном ньютоновском поле сил, может находиться в равновесии только тогда, когда одна из осей эллипсоида инерции направлена к притягивающему центру. При этом равновесие будет неустойчивым, если эта ось является меньшей или средней, и устойчивым, если с направлением на притягивающий центр совпадает наибольшая ось эллипсоида инерции. [34]
Принцип стабилизации в этих системах основан на следующем, хорошо известном свойстве центрального ньютоновского поля сил: спутник с неравными главными центральными моментами инерции имеет на круговой орбите четыре устойчивых положения равновесия, соответствующих совпадению наибольшей: оси эллипсоида инерции спутника с радиусом-вектором и наименьшей, оси с бинормалью к орбите. [35]
Для каждой точки 0 имеется свой эллипсоид инерции. Эллипсоид инерции для центра масс тела называют центральным эллипсоидом инерции. Оси эллипсоида инерции ( его сопряженные диаметры) называются главными осями инерции. В общем случае эллипсоид инерции имеет три взаимно перпендикулярные главные оси инерции. Они являются его осями симметрии. [36]
Для каждой точки О имеется свой эллипсоид инерции. Эллипсоид инерции для центра масс тела называют центральным эллипсоидом инерции. Оси эллипсоида инерции ( его сопряженные диаметры) называются главными осями инерции. В общем случае эллипсоид инерции имеет три взаимно перпендикулярные главные оси инерции. Они являются его осями симметрии. [37]
Предположим, что центральный эллипсоид инерции рассматриваемого тела есть эллипсоид вращения. Тогда два главных момента инерции между собой равны. Третья неравная ось эллипсоида инерции определяет ось кинетической симметрии тела. В простейшем, но практически важном случае геометрическая ось однородного тела является осью кинетической симметрии. Для того чтобы освободить тело от действия момента силы тяжести, достаточно подпереть его в центре тяжести. Если при этом никаких сил больше нет, то мы получим свободный волчок. [38]
Но уравнение (5.29) имеет как раз такой вид, какой приобретает уравнение (5.28) в системе координат, где тензор инерции / является диагональным. Следовательно, преобразование координат, приводящее уравнение эллипсоида к каноническому виду, совпадает с рассмотренным выше преобразованием к главным осям. Главные моменты инерции определяют длину осей эллипсоида инерции. Если два корня векового уравнения будут равны, то эллипсоид инерции будет иметь две равные оси и, следовательно, будет эллипсоидом вращения. Если же все главные моменты инерции будут равны, то эллипсоид инерции превратится в сферу. [39]
Три главные оси инерции являются, как мы знаем ( п 335), постоянными осями вращения. Мы снова установили это свойство для большой и малой осей эллипсоида инерции, совпадающих в случае вращения с конусом, описываемым мгновенной осью вращения в теле. [40]
Если молекула типа асимметричного волчка имеет элементы симметрии ( ось симметрии второго порядка или плоскости симметрии), то оси главных моментов инерции совпадают с осями симметрии и лежат в плоскостях симметрии или перпендикулярны к ним. Это существенно облегчает вычисление главных моментов инерции молекул этого типа. Если асимметричный волчок не имеет указанных элементов симметрии, направление осей главных моментов инерции молекулы может быть найдено только как направление осей эллипсоида инерции. [41]
Эффект гравитационной стабилизации, вызванный градиентом гравитационного поля Земли, известен со времени выхода в свет ( 1780 г.) знаменитой работы Лагранжа о либрациях Луны, в которой были определены условия устойчивых колебаний твердого тела при вертикальной ориентации его продольной оси. Постоянная ориентация Луны одной стороной по отношению к Земле указывает на то, что при определенных условиях таким же способом за счет сил гравитационного поля можно ориентировать и ИСЗ. Известно [7, 11], что твердое тело при движении в ньютоновском поле сил по круговой орбите под действием гравитационных моментов занимает устойчивое положение, в котором наибольшая ось эллипсоида инерции твердого тела направлена по радиусу-вектору к орбите, средняя ось эллипсоида - по касательной к орбите, и наименьшая ось расположена по бинормали к орбите. [42]
В случае симметричной молекулы легко можно найти главные оси поляризуемости эллипсоида поляризуемости, так как они, аналогично осям эллипсоида инерции ( см. стр. Для молекул, имеющих одну ось симметрии более высокого порядка, чем второй, как, например, для молекулы СН3С1, эллипсоид поляризуемости, точно так же как и эллипсоид инерции, является эллипсоидом вращения, а для молекул с кубической симметрией, как, например, для молекулы метана СН4, эллипсоид поляризуемости вырождается в сферу. Хотя в общем случае оси эллипсоида поляризуемости и совпадают с осями эллипсоида инерции, однако следует подчеркнуть, что в несимметрично построенных изотопных молекулах ( например, в молекуле типа XYY) эллипсоид поляризуемости совпадает с эллипсоидом поляризуемости обычной молекулы, а для эллипсоида инерции подобное совпадение не имеет места. [43]
Применение теоремы Штей-нера показывает, что при наличии системы параллельных осей момент инерции твердого тела является наименьшим относительно оси, проходящей через центр инерции С твердого тела. Остается выбрать направление оси, проходящей через эту точку. Следовательно, искомая ось /, проходит через центр инерции С твердого тела вдоль наибольшей оси CD эллипсоида инерции, построенного в этой точке. [44]