Cтраница 3
Строго говоря, эти три вектора не совпадают. Однако отклонения от совпадения очень малы и ими будем пренебрегать. Поэтому будем считать, что вектор L / ( o всегда совпадает с центральной главной осью гироскопа. Такое совпадение обеспечивается гироскопическими силами. Здесь же заметим лишь, что они обусловлены кориолисовыми силами. [31]
К телам вращения относится также шар. Это означает, что у шара ось вращения всегда в отсутствие внешних сил сохраняет фиксированное положение относительно тела и никакой нутации быть не может. Это обусловлено тем, что любая ось, проведенная через центр шара, является центральной главной осью инерции. Однако если шар неоднороден, то нутация у него может быть. В частности, наблюдается нутация оси вращения Земли. Это доказывает, что земной шар нельзя рассматривать как однородный. [32]
Вращение вокруг центральной главной оси со средним моментом инерции неустойчиво. При небольшом случайном отклонении оси вращения от этого направления возникают силы, увеличивающие отклонение. Это обстоятельство можно наглядно продемонстрировать на таком опыте. У тела в виде прямоугольного параллелепипеда центральными главными осями являются три взаимно перпендикулярные оси, проходящие через его геометрический центр параллельно сторонам. Параллелепипед имеет наибольшие и наименьшие моменты инерции относительно осей, параллельных его самой длинной и самой короткой сторонам. Если его подбросить с одновременным вращением вокруг одной из этих осей, то движение происходит устойчиво с сохранением направления оси вращения. Если же его вращать вокруг оси, параллельной средней стороне, то устойчивого движения не получается и тело начинает беспорядочно кувыркаться. [33]
Вращение вокруг центральной главной оси со средним моментом инерции неустойчиво. При небольшом случайном отклонении оси вращения от этого направления возникают силы, увеличивающие отклонение. Это обстоятельство можно наглядно продемонстрировать на таком опыте. У тела в виде прямоугольного параллелепипеда центральными главными осями являются три взаимно перпендикулярные оси, проходящие через его геометрический центр параллельно сторонам. Параллелепипед имеет наибольшие и наименьшие моменты инерции относительно осей, параллельных его самой длинной и самой короткой сторонам. Если его подбросить с одновременным вращением вокруг одной из этих осей, то движение происходит устойчиво с сохранением направления оси вращения. Если же его вращать вокруг оси, параллельной средней стороне, то устойчивого движения не получается и тело начинает беспорядочно кувыркаться. [34]
Главные моменты инерции Jx, Jy, Iz будут различны для различных точек тела. Если главные оси проведены через центр масс тела, они называются центральными главными осями. Таким образом, не имеет смысла говорить о главных моментах инерции тела, не указав точки тела, через которую проведены главные оси. При переходе от одной точки тела к другой главные оси, вообще говоря, меняют свое направление, а главные моменты - свое значение. Например, не имеет смысла начертить в теле ось и сказать, что она главная. Лишь когда речь идет о центральных главных осях и центральных главных моментах инерции, нет необходимости указывать точку тела, к которой они относятся, потому что по определению известно, что это точка центра масс тела. [35]
Центральные главные оси определяются с помощью таких же соображений, но провести их надо через точку центра масс. В случае бесконечно тонкой пластинки одна из центральных главных осей перпендикулярна плоскости. Положение двух других центральных-главных осей в плоскости пластинки зависит от ее формы. Для круглого диска - это любые две взаимно перпендикулярные оси. У цилиндра центр масс расположен на середине высоты в центре кругового сечения. Одна центральная главная ось совпадает с осью цининдра, а две другие ориентированы произвольно в средней круговой плоскости цилиндра, взаимно перпендикулярно друг другу. В случае шара любые три взаимно перпендикулярные оси, проведенные через центр шара, являются его центральными главными осями. [36]
Центральные главные оси определяются с помощью таких же соображений, но провести их надо через точку центра масс. В случае бесконечно тонкой пластинки одна из центральных главных осей перпендикулярна плоскости. Положение двух других центральных главных осей в плоскости пластинки зависит от ее формы. Для круглого диска - это любые две взаимно перпендикулярные оси. У цилиндра центр масс расположен на середине высоты в центре кругового сечения. Одна центральная главная ось совпадает с осью цининдра, а две другие ориентированы произвольно в средней круговой плоскости цилиндра, взаимно перпендикулярно друг другу. В случае шара любые три взаимно перпендикулярные оси, проведенные через центр шара, являются его центральными главными осями. [37]
Будем считать, что скатывание происходит без скольжения. Сила Т - сила трения, которая обеспечивает скатывание цилиндра без скольжения. Ось X удобно направить вдоль наклонной плоскости. Напишем уравнение движения для точки О, через которую проходит центральная главная ось инерции диска. [38]
Процесс нахождения главных осей сводится к математической процедуре диагонализации тензора. Главные моменты инерции IX1 Iy, I z будут различны для различных точек тела. Если главные оси проведены через центр масс тела, они называются центральными главными осями, а тензор - центральным тензором. Таким образом, не имеет смысла говорить о главных моментах инерции тела, не указав точки тела, через которую проведены главные оси. При переходе от одной точки тела к другой главные оси, вообще говоря, меняют свое направление, а главные моменты - свою величину. Например, не имеет смысла начертить в теле ось и сказать, что она главная. Лишь когда речь идет о центральных главных осях и центральных главных моментах инерции, нет необходимости указывать точку тела, к которой они относятся, потому что по определению известно, что это - точка центра масс тела. [39]
Процесс нахождения главных осей сводится к математической процедуре диагонализации тензора. Главные моменты инерции Ix, Iv, 1 2 будут различны для различных точек тела. Если главные оси проведены через центр масс тела, они называются центральными главными осями, а тензор - центральным тензором. Таким образом, не имеет смысла говорить о главных моментах инерции тела, не указав точки тела, через которую проведены главные оси. При переходе от одной точки тела к другой главные оси, вообще говоря, меняют свое направление, а главные моменты - свою величину. Например, не имеет смысла начертить в теле ось и сказать, что она главная. Лишь когда речь идет о центральных главных осях и центральных главных моментах инерции, нет необходимости указывать точку тела, к которой они относятся, потому что по определению известно, что это - точка центра масс тела. [40]
Основное свойство гироскопа, которое объясняет его поведение под действием сил, состоит в том, что вектор момента импульса N примерно совпадает с вектором угловой скорости ( о, направленным примерно вдоль центральной главной оси гироскопа, вокруг которой происходит вращение. Строго говоря, эти три вектора не совпадают. Однако отклонения от совпадения очень малы и ими будем пренебрегать. Поэтому будем считать, что вектор N / о всегда совпадает с центральной главной осью гироскопа. Такое совпадение обеспечивается гироскопическими силами. Их природа будет выяснена в гл. Здесь же заметим лишь, что они обусловлены так называемыми кориолисовыми силами. [41]
Основное свойство гироскопа, которое объясняет его поведение под действием сил, состоит в том, что вектор момента импульса N примерно совпадает с вектором угловой скорости ш, направленным примерно вдоль центральной главной оси гироскопа, вокруг которой происходит вращение. Строго говоря, эти три вектора не совпадают. Однако отклонения от совпадения очень малы и ими будем пренебрегать. Поэтому будем считать, что вектор N / to всегда совпадает с центральной главной осью гироскопа. Такое совпадение обеспечивается гироскопическими силами. Их природа будет выяснена в гл. Здесь же заметим лишь, что они обусловлены так называемыми кориолисовыми силами. [42]