Cтраница 1
Отображение многообразия Р в точку eG GLb ( n) lG продолжается до С. Если однородное пространство GLk ( n) lG вкладывается в качество орбиты в векторное пространство W с линейным действием группы GLk ( n), то структуру S можно рассматривать как линейную структуру типа W. Обратно, пусть S: Mk - - W - линейная геометрич. [1]
Отображения многообразия Мп на многообразие Э) Г, которые мы будем рассматривать, суть отображения непрерывные, но однозначные только в одну сторону. [2]
Какие дифферренцируемые отображения четырехмерного многообразия на алгебраическую кривую реализуются как регулярные отображения алгебраических поверхностей на эту кривую. [3]
Для отображений многообразия Mk в векторное пространство A2k - l дело уже обстоит иначе: имеющиеся там особые точки, вообще говоря, устойчивы - неустранимы при помощи малых шевелений. В этом случае возникает вопрос об описании типичных устойчивых особых точек. Этот вопрос был решен Уитнеем. [4]
D) отображений многообразия Мк в пространство Агк неустойчивы - устранимы малым шевелением отображения; регулярные же точки, напротив, устойчивы. [5]
Обозначим через Я отображение многообразия N1 X М на многообразие М X 7V1, переводящее точку ( г /, я) в точку ( х, г /), и пусть pi - отображение сферы 5 на себя, переводящее каждую ее точку в диаметрально противоположную. [6]
Итак, степень отображения многообразия Мп равна сумме степеней отображений отдельных симплексов, на которые оно подразделено. Но для тех симплексов, в которых нет особых точек, степени отображений равны нулю, а для симплексов, содержащих особые точки - равны индексам этих точек. Следовательно, для случая симплициальных отображений теорема доказана. [7]
Это отображение называется нормальным отображением исходного многообразия. Особенности нормальных отображений подмногообразий общего положения составляют специальный класс особенностей отображений пространств одинаковой размерности. Критические значения нормального отображения образуют каустику ( геометрическое место центров кривизны) исходного подмногообразия: см. рис. 33, где исходное многообразие - эллипс. [8]
En 1f эквивалентна гомотопической классификации отображений многообразия МЛ в многообразие Нп всех ортогональных матриц порядка п с положительным детерминантом. [9]
Заметим, что каждый из классов гомотопных отображений многообразия М в себя, индуцирующий гиперболический автоморфизм jti ( Af), содержит ( см. [1]) гиперболический автоморфизм инфранильмногообразия. [10]
В настоящем параграфе дается гомотопическая классификация отображений гладких замкнутых ориентированных многообразий размерности п в га-мерную сферу. Результат этот хорошо известен и для негладких многообразий, но в настоящей работе он играет важную вспомогательную роль. Доказательство проводится специфическими для гладких многообразий методами, что упрощает применение этого результата в последующих параграфах работы. В первую очередь определяется степень отображения и доказываются простейшие ее свойства. Далее на основе построенной ранее теории дается классификация отображений га-мерной сферы в га-мерную, что дает элементарную иллюстрацию общих результатов предыдущих параграфов. Наконец, классификация отображений га-мерного многообразия в га-мерную сферу сводится к классификации отображений га-мерной сферы в га-мерную. [11]
В предложениях С и Е некоторые особые точки отображений многообразия М в векторные пространства А1 и соответственно A21f - l были объявлены невырожденными. В теоремах 5 и 6 было доказано, что все вырожденные особые точки рассматриваемых отображений неустойчивы - устранимы малыми шевелениями отображения. Не было доказано, однако, что особые точки, названные невырожденными, устойчивы - сохраняются при малых шевелениях. Доказательство этого факта не представляет трудностей, но здесь оно приведено не будет. Не была также выяснена структура отображения в окрестности невырожденной особой точки. Сделать это со всей полнотой непросто, и здесь я привожу только результаты без доказательств. [12]
Доказать, что определение регулярной точки ( / - отображения многообразий не зависит от выбора координатного представления этого отображения. [13]
Нижеследующая теорема 13 полностью решает вопрос о гомотопической классификации отображений ориентируемых замкнутых тг-мерных многообразий в тг-мерную сферу. Теорема 13 доказывается путем сведения ее к теореме 12 о классификации отображений тг-мерной сферы в тг-мерную. [14]
Гладкому отображению g соответствует гладкая деформация gt, О t 1, отображений многообразия N1 в Mk. Из сказанного, в силу транзитивности понятия гладкой гомотопии, следует, что между отображениями / 0 и Д существует гладкая класса т - 2 гомотопия. [15]