Cтраница 2
Как и выше, устанавливается, что 0 - есть гладкое класса 1 отображение многообразия Л - в область О. Так как многообразие N ( а значит, и Л -) имеет размерность п - 1, то образ О - ( Л -) является множеством первой категории в О. [16]
Доказательство теоремы 15.3. Обозначим через FV ( V, W) пространство С00 - отображений многообразия V в многообразие W, рассматриваемое в тонкой С - топологии. Это пространство допускает полную метрическую структуру в случае связного многообразия V. Комбинируя доказательство теоремы Тома с теоремой о категории Бэра для этого пространства, применямой локально, получим следующую общую теорему трансверсальности. [17]
Так же как векторы возникают при рассмотрении гладких кривых, векторные поля связаны с отображениями многообразия на себя. [18]
Брауэра, и не только из-за той фундаментальной роли, которую она играет в теории отображений многообразий, но и потому, что она дает возможность предугадать некоторые возможные обобщения исследований, изложенных в двух последних главах настоящей работы. [19]
Полагая f dxk, rj dy, получаем совпадение понятий дифференциала функции и дифференциала ее же как отображения многообразий. Более того, матрица дифференциала dfp0 есть матрица Якоби отображения /, а с другой стороны - градиент grad / функции /; таким образом, градиент / - это матрица дифференциала dfp0 в фиксированной системе координат. [20]
Пусть Sn - l - единичная сфера пространства Еп, а е Sn - l и х - отображение многообразия Нп в сферу Sn - l, построенное в предложении О. [21]
АССИМИЛЯЦИЯ [ assimilation ] Составная часть процесса отображении, состоящая в том, чтобы определить, как происходит отображение внешнего многообразия входной информации в ограниченное количество внутренних структур. [22]
Из нее мы видим, в частности, связь между теорией векторных полей и проблемой разыскания неподвижных точек при отображении многообразия самого на себя. [23]
Кривая P ( t) определяет касательный вектор X q к N в точке q, который является образом Хр при отображении многообразий. [24]
Фх () Ф / i ( Ж) Ь х / f - Легко видеть, что ф есть гладкое класса т отображение многообразия Мk в С. [25]
Вообще говоря, группа Ли G будет реализована как группа преобразований некоторого многообразия М, если каждому элементу g группы G будет поставлено в соответствие отображение многообразия М в себя. Важно не ограничить внимание исключительно линейными преобразованиями. Кроме того, группа может действовать только локально. Это означает, что преобразования могут не быть определены для всех элементов группы или всех точек многообразия. [26]
Пусть Nq - многообразие всех нормальных элементов ( х, и) многообразия h ( Mli), определенное в предложении D, и v - отображение многообразия Nq в многообразие Sq, также определенное в D. Покажем, что если и ЕЕ Sq есть правильная точка отображения v, то все особые точки отображения nji невырождены. Действительно, если а есть особая точка отображения ям / г, то луч и ортогонален к h ( Mk) в точке h ( а), и потому ( а, и) ЕЕ Nq. Пусть е - заданное положительное число, и пусть и - такой единичный вектор пространства Cq l, что функция h1 ( u, h ( x)) находится в е-близости класса т к функции f1 и что и ЕЕ Sq есть правильная точка отображения v, так что все критические точки функции h1 невырождены. В силу теоремы 4 такой вектор и существует. [27]
F); L2 - 2 - подмногообразие многообразия Z / 2 - 1, составленное из всех элементов вида ( х, и), где х ЕЕ М 1, и, наконец, т - отображение многообразия L2h - l в сферу S2 - 1, построенное в F. В силу теорем 4 и 1 существует такой вектор и, что и удовлетворяет указанным выше условиям, а отображение nuh находится в е-близости отображения я / г. Таким образом, в 2е - близости отображения / имеется отображение g nuh, удовлетворяющее требованиям теоремы. [28]
В § V мы вводим понятие инфинитезимального преобразования, определенного как некоторый закон, относящий каждой точке многообразия касательный вектор в этой точке; мы определяем для инфи-нитезимальных преобразований композицию [ X, У ] и рассматриваем влияние, оказываемое на эту операцию отображением многообразия. [29]
Покажем, что формы шиш когомологичны. Отображение Тд многообразия М в себя гомотопно тождественному. [30]