Cтраница 3
Такое точечное многообразие может быть как совокупностью конечного числа различных элементов, так и бесконечным множеством-в частности, континуумом, таким как пространство или время. Отображение S точечного многообразия на себя определяется законом, который связывает с каждой точкой р многообразия точку р, называемую образом: p - p Sp два отображения S и Т тождественны, если для всех точек р оба образа Sp и Тр совпадают. [31]
Поэтому отображение ( v ( f) - x ( - b - i x t) является гладким ( класса 1) отображением многообразия Pk в О. [32]
Работа в области топологических методов в вариационных задачах в настоящее время интенсивно продолжается. Известен уже ряд результатов, касающийся свойств инвариантов типа категории; получены новые результаты, касающиеся изменения групп Бетти области меньших значений и поверхностей уровня; изучено изменение фундаментальной группы ловерхностеи уровня; дана оценка числа критических точек при отображении многообразия на окружность; указаны точные нижние границы числа как геометрически, так и аналитически различных критических точек; выяснены некоторые свойства критических множеств систем функций; методы оценки числа критических точек приложены к оценке числа особых точек динамических систем. Однако мы не можем остановиться на всех этих результатах, так как они еще не опубликованы. [33]
Группы Qf ( X, Y) определяются аналогично: циклы - это отображения многообразий с краем, где образ границы лежит в Y С X, а пленки вводятся естественно. [34]
Это многообразие проявляется и в естественном языке. С другой сторо ны, общепринято ( за неимением других конструктивных подходов), что количество структур в интеллектуальных системах должно быть значительно меньше, чем в окружающем мире. В свете сказанного ассимиляция состоит в том, чтобы определить, как происходит отображение внешнего многообразия входной информации в ограниченное количество внутренних структур. Указанный термин является кесьма широким. Действительно, анализ текста, голоса и изображений - это все ассимиляция. Ассимиляция присутствует в любой системе. Однако разработанные в настоящее время механизмы ассимиляции довольно примитивны. [35]
В настоящем параграфе показано, что при гомотопическом изучении отображений одного гладкого многообразия в другое достаточно рассматривать лишь гладкие отображения и их гладкие гомотопии. Это вытекает из следующих фактов. Оказывается, что в каждом гомотопическом классе отображений многообразия N1 в многообразие Mh существует гладкое класса т - 1 отображение, а если два гладких класса т - 1 отображения многообразия N1 в многообразие М гомотопны между собой, то существует гладкая класса т - 3 гомото-пия одного отображения в другое. Такого снижения класса гладкости можно было бы избежать при помощи некоторых ухищрений, но так как результаты этого параграфа будут применяться лишь при изучении отображений сферы в сферу, а сфера есть многообразие аналитическое, то потеря гладкости на три единицы не играет роли и нет смысла осложнять доказательства для сохранения класса гладкости неизменным. [36]
Другой интересный результат Гротендика был изложен в обзорном докладе Хирцебруха. Речь идет об обобщении теоремы Римана-Роха. Обобщение заключается в том, что находится закон преобразования рода Тодда при рациональных отображениях. Первоначальная теорема Римана-Роха в формулировке Хирцебруха получается из этого результата, если рассматривать отображения многообразия в точку. Доказательство этого обобщения оказывается значительно проще, чем доказательство теоремы Римана-Роха, найденное Хирцебрухом. В частности, оно алгебраическое, так что приложимо к многообразиям над произвольным полем, и Не использует теории внутренних гомологии Тома, на которой основывалось доказательство Хирцебруха. [37]
В настоящем параграфе показано, что при гомотопическом изучении отображений одного гладкого многообразия в другое достаточно рассматривать лишь гладкие отображения и их гладкие гомотопии. Это вытекает из следующих фактов. Оказывается, что в каждом гомотопическом классе отображений многообразия N1 в многообразие Mh существует гладкое класса т - 1 отображение, а если два гладких класса т - 1 отображения многообразия N1 в многообразие М гомотопны между собой, то существует гладкая класса т - 3 гомото-пия одного отображения в другое. Такого снижения класса гладкости можно было бы избежать при помощи некоторых ухищрений, но так как результаты этого параграфа будут применяться лишь при изучении отображений сферы в сферу, а сфера есть многообразие аналитическое, то потеря гладкости на три единицы не играет роли и нет смысла осложнять доказательства для сохранения класса гладкости неизменным. [38]
Позднее было замечено, что объекты совершенно различной геометрич. Такие объекты были названы обобщенными, или экстраординарными теориями гомологии; они использованы для усовершенствования вычислительных методов А. Важнейшим примером является К-теория, построенная из линейных ( векторных) косых произведений над изучаемым пространством вместо его циклов или дифференциальных форм, из к-рых строились обычные группы гомологии. Другой важный пример - теория кобордизмов ( бордизмов), где вместо любых циклов берутся только отображения замкнутых многообразий в изучаемое пространство, а вместо любых пленок - только отображения многообразий с краем какого-то класса. [39]
Мы в своих писаниях, повествуя о трудовых подвигах нашего чудесного солдата - народа, часто вовсе умалчиваем о тех лишениях и трудностях, которые он переносит в своем великом походе. Мы ущемляем его законное горделивое чувство человека, справляющегося с трудностями и неуклонно идущего к высокой избранной цели. А мы как раз должны укреплять в нем это горделивое чувство, отдать должное его мужеству, выносливости, терпению, благородному бескорыстию и готовности в необходимых случаях идти на жертвы. Думается, что именно к этому обязывают те строки Программы, в которых говорится о необходимости укрепления связей литературы с жизнью, о правдивом и высокохудожественном отображении многообразия нашей действительности. [40]
В настоящем параграфе дается гомотопическая классификация отображений гладких замкнутых ориентированных многообразий размерности п в га-мерную сферу. Результат этот хорошо известен и для негладких многообразий, но в настоящей работе он играет важную вспомогательную роль. Доказательство проводится специфическими для гладких многообразий методами, что упрощает применение этого результата в последующих параграфах работы. В первую очередь определяется степень отображения и доказываются простейшие ее свойства. Далее на основе построенной ранее теории дается классификация отображений га-мерной сферы в га-мерную, что дает элементарную иллюстрацию общих результатов предыдущих параграфов. Наконец, классификация отображений га-мерного многообразия в га-мерную сферу сводится к классификации отображений га-мерной сферы в га-мерную. [41]
Теорема Стоу - н а утверждает, что в любое открытое покрытие произвольного метрич. Хаусдорфовы пространства, обладающие последним свойством, наз. Требование локальной конечности играет существенную роль в конструкциях, принадлежащих теории размерности, в формулировках и доказательствах разного рода аддиционных теорем. Существование в регулярном пространстве базы, распадающейся в объединение счетного семейства локально конечных открытых покрытий, равносильно метризуемости этого пространства. С помощью разбиений единицы строятся, в частности, стандартные отображения многообразий в евклидовы пространства. Требование локальной конечности покрытия но обязательно соединять с предположением о его открытости. Локальная конечность покрытия пространства автоматически влечет, что в атом покрытии достаточно много множеств, близких по свойствам к открытым. Рассматриваются также локально коночные семейства множеств в пространстве, определяемые аналогично, но но обязанные покрывать пространство. Специальный их случай представляют д и с к р е т н ы е семейства множеств - такие семейства множеств, что у каждой точки всего пространства есть окрестность, пересекающая но более одного элемента этого семейства. Дискретные семейства важны в связи с изучением отделимости в пространстве. Так, выделяются коллективно нормальные пространства требованием: любое дискретное семейство множеств отделяется дискретным семейством окрестностей. С последним условием прямо связана задача комбинаторного продолжения локально коночных семейств множеств до локально конечных семейств открытых множеств. [42]