Cтраница 3
Второе замечание относительно использования групп локальной симметрии и перестановочной симметрии, в сущности, является предостережением. При отображении групп локальной симметрии и перестановочной симметрии на полную точечную группу следует позаботиться о том, чтобы элементы симметрии были расположены в правильной последовательности. При отображении группы локальной симметрии часто возникают недоразумения, когда полная группа, как, например, группы D4it или D6ft, включает больше одного класса осей второго порядка, перпендикулярных главной оси, а также более одного класса пло скостей симметрии, проходящих через главную ось. [31]
Множество таких гомоморфизмов образует, очевидно, некоторую подгруппу группы L, элементы которой назовем отмеченными. Обозначим через ty ( p) отображение группы характеров Д в группу К, определяемое условием ty ( p) ( i) a ( p), где а - отмеченный гомоморфизм, принадлежащий смежному классу К. Так как отмеченные гомоморфизмы образуют подгруппу групп L, то ( p) ( Ki X2) ( ai a2) ( p) ai ( p) a2 ( p) ( p) ( i) ( p) ( 2), где i и а2 - отмеченные гомоморфизмы, принадлежащие соответственно KI и Кг. [32]
Остается доказать изоморфизм группы А и группы характеров А динамической системы А. Пусть Я - характер группы А, это значит, что К является отображением группы А в К, удовлетворяющим условию K ( a - b) К ( а) K ( b), где а и Ь - элементы из А. [33]
Юрий Николаевич Горчинский ( 1929 - 1999) был действительным членом Академии криптографии РФ с момента ее основания. В публикуемой статье изучаются условия существования и свойства тг-гомоморфизмов конечных групп, т.е. таких отображений групп, при которых групповые операции сохраняются лишь для заданной доли пар элементов группы. Редколлегия надеется, что исследования, начатые Ю.Н. Горчинским, будут продолжены другими учеными. [34]
Пусть G и G - группы с одной и той же областью операторов 2; изоморфное ( гомоморфное) отображение ср группы G на G наз. [35]
Расстояние между двумя точками при установленной единице меры выражается некоторым арифметическим числом. С точки зрения учения о группах это выражается следующим образом. Каждым двум точкам пространства отвечает число, остающееся неизменным при всех отображениях группы - инвариант этой группы. Если возьмем некоторую совокупность точек, то для каждых двух из них этот инвариант - расстояние - имеет определенное значение; инвариантной остается и каждая комбинация парных инвариантов, каждая функция от них. Но для данной совокупности точек не существует инварианта, который от парных инвариантов не зависит. Чтобы это выяснить, остановимся на совокупности трех точек; они определяют треугольник, он имеет определенную площадь; это тоже есть инвариант движения. [36]
Левые и правые переносы в группе совершенно симметричны, поэтому выделение именно левых переносов в нашем определении кажется неестественным. То, что мы здесь определили, лучше было бы назвать левой мерой Хаара; одновременно следовало бы ввести правую меру Хаара и и подробно изучить связь между той и другой. Действительно, в дальнейшем мы иногда будем пользоваться этими более точными терминами. Однако в большинстве случаев, в частности в вопросе существования, имеет место полная симметрия между правыми и левыми мерами Хаара, и именно это обстоятельство оправдывает несимметричный подход к ним. В самом деле, так как отображение группы X самой на себя, переводящее х в л - 1, сохраняя все групповые и топологические свойства, преобразует все левые свойства в правые и наоборот, то из всякой левой теоремы следует соответстующая правая теорема и обратно. Хаара; обратно, если [ х - правая мера Хаара, то v - левая. [37]
Существует четыре типа отображений, или, точнее, один тип отображений ( гомоморфизм) и три его менее общие разновидности. Все они обладают общим свойством сохранять групповую операцию. Опознавать разновидности отображений нам помогают различия между ними. Разумеется, групповые свойства придают отображениям многие особенности, которыми не обладают произвольные отображения множеств. Но для того, кто хотел бы выяснить различия между отображениями групп, эти особенности не представляют интереса. [38]