Cтраница 3
В лемме 5.3 оценивалась вероятность встретить словарь, индекс которого относительно равномерного отображения значительно отклоняется от своего математического ожидания. В лемме 5.5 решим аналогичную задачу для произвольного отображения. Естественно, оценка получается менее точной, однако она достаточна для использования в теореме 5.2. В лемме 5.5 нам понадобится неравенство, которое предварительно докажем. [31]
В свое время автором доказано, что множества конечной длины являют я QC-устранимыми в классе непрерывных отображений. Доказательство это сравнительно громоздко, использует приближение произвольного отображения достаточно гладкими. Как показал И. Н. Песин [51], имеет место общая теорема, чрезвычайно просто доказуемая. [32]
Пусть А - какое-либо множество, 2 - вспомогательное множество индексов, частично упорядоченное так, что любые его два элемента имеют в 2 общий больший. Направлением [ аа ] в А с носителем 2 называется произвольное отображение а - аа множества 2 в А. В хаусдорфовых пространствах каждое направление может сходиться не более, чем к одной точке. В Т0 - или 7-пространствах ( см. [1]) могут существовать направления, сходящиеся к нескольким точкам. Множество F топологического пространства А тогда и только тогда замкнуто, когда все пределы направлений из элементов F принадлежат F ( см. [ 2, стр. [33]
Заметим прежде всего, что гомоморфизм К - - К определяется своим сужением на приведенные / С-теории 4 / - мерных сфер. Действительно, как нетрудно проверить, существует Я-отображение ВО - ВО, индуцирующее произвольное отображение рациональных примитивных классов гомологии и благодаря этому сферических классов когомологий. [34]
Как будет показано в конце параграфа, операторы в бесконечномерных нормированных пространствах могут быть неограниченными. Однако и в бесконечномерных нормированных пространствах линейные операторы обладают дополнительными свойствами по сравнению с произвольными отображениями. [35]
Возникает мысль применить конструкцию, двойственную в том смысле, что по объекту, заданному в области значений отображения, построить нечто в области ее определения. Компоненты комплексной аналитической функции одной переменной, как известно, удовлетворяют некоторому дифференциальному уравнению в частных производных, а именно, уравнению Лапласа. Возникает идея - для произвольного отображения с ограниченным искажением построить дифференциальное уравнение, которому удовлетворяют компоненты отображения с ограниченным искажением. Это уравнение может, конечно, зависеть от данного отображения. Но во многих случаях достаточно знать, что оно принадлежит к некоторому заданному типу, причем основные параметры, характеризующие это уравнение, лежат в некоторых фиксированых границах. [36]
Деформационное пространство MxY есть на самом деле замыкание У х А1 в этом вложении. Нам не понадобится такое описание; приведенная выше конструкция проще, ибо опирается лишь на стандартные свойства раздутий. Однако граф-конструкция более мощная, так как допускает обобщение на произвольные отображения векторных расслоений и комплексы векторных расслоений ( ср. [37]
В этом параграфе будет введен еще один тип алгебр, более широкий, чем рассмотренный выше класс дистрибутивных кольцоидов над абелевыми алгебрами, но не менее естественный. Абелевы алгебры появились у нас потому, что мы хотели обеспечить суммируемость гомоморфизмов произвольной алгебры сигнатуры Q в данную алгебру. Эта потребность отпадает, однако, если мы буцем рассматривать не гомоморфизмы, а произвольные отображения. [38]
Конечно, Fix ( /) Coin ( / Id), где Id Ых означает тождественное отображение X. Тем не менее число MF [ f ] не является специальным случаем числа MC [ fi, / 2 ] при / i / и / 2 Id, поэтому мы рассматриваем их раздельно. Простейший случай строгого неравенства возникает, когда X является диском Dn. В этом случае произвольное отображение / и Id могут быть деформированы в отображения, посылающие Dn в две различные точки; следовательно, 0 МС [ /, Id ], но согласно теореме о неподвижной точке Брауэра всякое непрерывное отображение имеет по крайней мере одну неподвижную точку, таким образом MF [ f ] 1 для всякого отображения /: Dn - Dn. [39]
Таким образом, при сложении тензоров складываются их соответствующие компоненты. Это значит, что обычная сумма векторов будет их суммой, если их складывать как тензоры. То же относится к сумме линейных преобразований, которую мы определили в гл. Определение суммы там было дано для произвольных отображений. [40]
Таким образом, при сложении тензоров складываются их соответствующие компоненты. Это значит, что обычная сумма векторов будет их суммой, если их складывать как тензоры. То же относится к сумме линейных преобразований, которую мы определили в гл. VI, ( Определение суммы там было дано для произвольных отображений. [41]
Класс внутренних в смысле Стоилова отображений определяется весьма просто: он состоит из всех непрерывных отображений, преобразующих открытые множества в открытые и не сводящих в точку континуумы, отличные от точки. Классические теоремы теории аналитических функций - принцип сохранения области и теорема единственности - показывают, что любая аналитическая функция осуществляет внутреннее отображение. Более того, так как свойства, определяющие рассматриваемый класс, не нарушаются при гомеоморфизмах, то и любая функция, которая получается из аналитической гомеоморфным преобразованием аргумента, также осуществляет внутреннее отображение. С другой стороны, важнейшее свойство класса внутренних отображений выражается знаменитой теоремой Стоилова, по которой любая функция, осуществляющая такое отображение, после некоторого гомеоморфного преобразования аргумента переходит в аналитическую функцию. Иными словами, внутренние отображения - это произвольные отображения вида w f [ T ( z) ], где / - аналитическая функция, а Т - гомеоморфизм. В этом смысле функции, осуществляющие внутренние отображения, и являются топологически эквивалентными аналитическим, а совокупность их свойств - совокупностью топологических свойств аналитических функций. [42]
Существует четыре типа отображений, или, точнее, один тип отображений ( гомоморфизм) и три его менее общие разновидности. Все они обладают общим свойством сохранять групповую операцию. Опознавать разновидности отображений нам помогают различия между ними. Разумеется, групповые свойства придают отображениям многие особенности, которыми не обладают произвольные отображения множеств. Но для того, кто хотел бы выяснить различия между отображениями групп, эти особенности не представляют интереса. [43]