Cтраница 2
Пусть ц - радоновская мера на локально выпуклом пространстве X и v: X - X - измеримое отображение, которое мы будем называть векторным полем. Дифференцируемость вдоль поля определяется с помощью формулы интегрирования по частям. [16]
Лемма 1.4. Пусть F: Т - согар X и q: Т - - X - сильно измеримые отображения. [17]
Пусть ( X, &, v) - радоновское вероятностное пространство, и /: X - Y - измеримое отображение в хаусдор-фово пространство Y со счетной базой. [18]
Обобщением непрерывного отображения является понятие Д - измеримого отображения, или Б - функции, в частности, Д - измеримого отображения класса а; обобщениями гомеоморфизма являются понятия обобщенного гомеоморфизма класса ( а, Р) и / - изоморфизма. [19]
Пусть 7 - центрированная радонов-ская гауссовская мера на локально выпуклом пространстве X, Н Н ( и F: X - Е такое измеримое отображение со значениями в сепарабельном пространстве Фреше Е, что для некоторого ортонормиро ванного базиса еп в Н функция t н - F ( x ten) непрерывна для у-п. Тогда носитель индуцированной меры 7 JP-1 на Е связен. [20]
Пусть X - вполне регулярное топологическое пространство, ц - вероятностная мера Радона на X, Т: X - ъ X - такое измеримое отображение, что мера / иоТ 1 радонова, а Тп: X - X - последовательность - измеримых отображений, сходящаяся ц-п. [21]
Тогда случайный элемент X, введенный в ( 15), является & 8 % ( С ( Т, S)) - измеримым отображением. [22]
B ( i x ( t); t T, х ( -) Ю, Г: Т X В - - сотр X - интегрально ограниченное отображение типа Каратеодори, v: Т - - X - сильно измеримое отображение. [23]
Пусть X - вполне регулярное топологическое пространство, ц - вероятностная мера Радона на X, Т: X - ъ X - такое измеримое отображение, что мера / иоТ 1 радонова, а Тп: X - X - последовательность - измеримых отображений, сходящаяся ц-п. [24]
Q - произведение TxU или TxV; отображения р и р определяются функциями t, g ( t, x ( t), и) или t, g ( t, x ( t), v) и /, г ( 0 - Измеримое отображение / определяет функцию /, u ( t) или t, v ( t) с указанными выше свойствами. [25]
Предполагается, что читатель знаком с некоторыми основными понятиями теории меры ( см. [174] и [133]), в частности с понятиями о-поля ( называемого также о-алгеброй или борелевспим полем ], измеримого пространства ( пары, состоящей из абстрактного пространства и о-поля па нем) и измеримого отображения. Если S - топологическое пространство, то минимальное а-поле & ( S) на S, которое содержит все открытые множества, называется топологическим в-полем, а элемент В ( 8) называется борелевским множеством в S. S), называется измеримым по Борелю. И, , Р) в этом случае называется полным вероятностным пространством. [26]
Тогда для дифференциального включения (3.3) существует К-эквивалентная управляемая система S ( f, V), где /: Т X X X X X - X ( R X X X X - X) - фунщ1гя типа Каратеодори, а V: Т - сотр X ( R - - сотр X) - сильно измеримое отображение. [27]
Следствие 3.1. Пусть Г: ГХХ-сотрХ ( Rf X X - - - сотр X) - интегрально ограниченное на компактах из Т XX ( R X X) отображение типа Каратеодори, К е сотр X и выполняются все предположения теоремы 3.1. Тогда для дифференциального включения (3.3) существует К-квази-эквивалентная управляемая система S ( f, V), где /: ГХХХ X X - X ( R X X X X - X) - функция типа Каратеодори, а V: Т - - conv X ( R - conv X) - сильно измеримое отображение. [28]
Легко видеть, что эти операторы коммутируют. Обозначим через Z множество всех измеримых отображений ф: ffl - В, для которых y ( h) Fh. Множество Z оказывается выпуклым ( так как слои Fh выпуклы), инвариантным относительно П ( /) и слабо компактным в В. По теореме Тихонова - Маркова операторы П ( /) имеют неподвижную точку, что и требовалось. [29]
Требуемая измеримость получается в силу следствия 1 главы I. Остается учесть, что суперпозиция измеримых отображений будет должным образом измерима. [30]