Cтраница 3
Рп - Р и h - непрерывное / - почти всюду измеримое отображение 5 в метрич. [31]
Можно легко убедиться в том, что если С - цилиндрическое множество, то Т 1 ( С) также является цилиндрическим множеством. Поскольку цилиндрические множества порождают а-алгебру У, отсюда следует, что Т - это измеримое отображение пространства ( 2 ( 5), ЗП в себя. [32]
Еп) измеримы, то их алгебраическая сумма F ( t) Fi ( t) Fz ( t) будет измеримым отображением. [33]
S и функции Д и Д измеримы, измеримо и отображение Т сами функции Д и Д являются, конечно, измеримыми отображениями пространства X в числовую прямую. [34]
Исходя из того частного случая, когда Y есть числовая прямая, мы скажем, что отображение Т измеримо, если прообраз каждого измеримого множества измерим. Мы видим, что это определение не согласуется с тем, которое было установлено ранее для измеримых функций; в силу особой роли числа 0, измеримая функция может не быть измеримым отображением. Эта несогласованность целиком окупается удобством в приложениях; недоразумений всегда можно избежать, если не путать термины функция и отображение. В том важном случае, когда X само принадлежит S, a Y представляет собой числовую прямую, понятия измеримого отображения и измеримой функции совпадают. [35]
На первом этапе мы покажем, что если для некоторого элемента ж () е Нг ( жо) существует множество & - ( х) - Т ( ( a) c: R), ц ( ( г)) 0, в каждой точке t которого множество T ( t, x ( t)) не выпукло, то ( существует m 0 такое, что) для любого е 0 ( и любого отрезка Тп [ 0, га ], пт) найдется элемент ж8 ( -) ellr-r ( ж0) Нг ( а: в), удовлетворяющий неравенству x ( t) - xt ( t) e, t & T ( t Tn), Первый этап. Рассмотрим сначала случай, когда областью определения отображения Г служит множество Т X XX. Очевидно, что В - компакт. Согласно лемме 1.1.1, оно является сильно измеримым отображением из Т в convX и, следовательно, ц-почти сепарабельнозначным. [36]
Исходя из того частного случая, когда Y есть числовая прямая, мы скажем, что отображение Т измеримо, если прообраз каждого измеримого множества измерим. Мы видим, что это определение не согласуется с тем, которое было установлено ранее для измеримых функций; в силу особой роли числа 0, измеримая функция может не быть измеримым отображением. Эта несогласованность целиком окупается удобством в приложениях; недоразумений всегда можно избежать, если не путать термины функция и отображение. В том важном случае, когда X само принадлежит S, a Y представляет собой числовую прямую, понятия измеримого отображения и измеримой функции совпадают. [37]