Cтраница 1
Вспомогательное отображение в своей области определения G может быть однозначным или многозначным. [1]
Вспомогательное отображение Tt трехзначно. [2]
Вспомогательное отображение L двузначно и область т, показанную на рис. 7.128, преобразует в некоторую окрестность т точки с координатами ( ы0, УО), если точки М и N имеют координаты ( О, v0) и ( и0, 0) соответственно. [3]
Если вспомогательные отображения сжимающие, то эта неподвижная точка единственная. [4]
В случае сжимаемости вспомогательного отображения утверждение о неподвижных точках допускает уточнение, состоящее в утверждении не только существования или несуществования, но и в случае существования - единственности. [5]
Последующее изложение метода вспомогательных отображений позволяет сформировать новые наглядные представления, которые могут служить основой для интуитивных представлений и теоретического исследования несжимающих отображений. Они позволяют единообразно и наглядно исследовать все известные простейшие типовые ситуации, приводящие к хаотизации и сто-хастизации движений детерминированной динамической системы. Ниже таким путем исследуются простая гомоклиническая петля А. [6]
Приведем пример, когда вспомогательное отображение двузначно. [7]
Точечные отображения этой последовательности имеют вспомогательные отображения, причем отображения Т - сжимающие с коэффициентом сжатия, не большим q ( q 1), а отображения Ьц имеют константу Липшица, не большую К. [8]
Можно думать, что двузначность вспомогательного отображения Т связана с двузначностью обратного отображения Т - но это не так. [9]
Тем самым существование в G вспомогательного отображения RS доказано, доказано и то, что область G преобразуется в себя. [10]
Если в последовательности (1.36) отображений TSJS все вспомогательные отображения сжимающие, то последовательность (1.37), удовлетворяющая (1.38), единственная. [11]
В этой формулировке теоремы неявно предполагается, что все вспомогательные отображения Та однозначные. [12]
В случае нормы (1.32) это означает, что каждое из вспомогательных отображений Т, сжимающее. В общем случае, если отображение Т преобразует в себя некоторую выпуклую область G, то отображение Т имеет в области G неподвижную точку. Если дополнительно отображение Т еще и сжимающее, то эта неподвижная точка единственная и седлового ( гиперболического) типа. [13]
Неподвижные точки отображения Т, отвечающие неподвижным точкам однозначных ветвей вспомогательного отображения, заведомо будут разными, если образы областей определения этих ветвей не пересекаются. Напротив, если вспомогательные отображения Т не имеют неподвижных точек, например области определения отдельных однозначных ветвей не пересекаются со своими образами, то и у, отображения Т их нет. [14]
В настоящем разделе изложенные выше соображения о неподвижных точках и вспомогательных отображениях обобщаются на бесконечные в обе стороны последовательности точечных отображений. [15]