Cтраница 3
В приводимых выше примерах отображений Т и вспомогательных к ним отображений Т отображение Т не имеет областей, которые бы оно преобразовывало в себя, в то время как для вспомогательного отображения Т такие области имеются. Поэтому вспомогательное отображение допускает применение к нему описанных выше общих признаков существования неподвижной точки. [31]
Неподвижные точки отображения Т, отвечающие неподвижным точкам однозначных ветвей вспомогательного отображения, заведомо будут разными, если образы областей определения этих ветвей не пересекаются. Напротив, если вспомогательные отображения Т не имеют неподвижных точек, например области определения отдельных однозначных ветвей не пересекаются со своими образами, то и у, отображения Т их нет. [32]
Пусть отображение Т имеет вспомогательное отображение Т и одна из однозначных ветвей этого вспомогательного отображения преобразует некоторую область в себя. Тогда отображение Т, а следовательно, и отображение Т имеют неподвижную точку. [33]
Соответствующие примеры могут быть продолжены, но все же они не очень многочисленны, поскольку далеко не всегда имеется сжимаемость. В настоящем разделе излагается метод вспомогательных отображений, позволяющий расширить применение критерия о существовании и единственности неподвижной точки на несжимающие отображения. Ради геометрической наглядности это изложение, как и относящиеся к нему примеры, будет ограничено двумерными точечными отображениями. [34]
Если кривая Fu и прямая Lv пересекаются при всех значениях и и и не более чем в одной точке, то вспомогательное отображение Т однозначное. Напротив, возможность нескольких пересечений говорит о многозначности вспомогательного отображения. [35]
Если кривая Fu и прямая L - пересекаются при всех значениях и и v не более чем в одной точке, то вспомогательное отображение Т однозначное. Напротив, возможность нескольких пересечений говорит о многозначности вспомогательного отображения. [36]
Напротив, во втором случае получающаяся кривая не имеет предельной касательной. Она имеет вид, показанный на рис. 7.109. При этом вспомогательное отображение Тт многозначное. В первом случае, напротив, это отображение однозначное. [37]
Пусть отображение Т имеет вспомогательное отображение Т и одна из однозначных ветвей этого вспомогательного отображения преобразует некоторую область в себя. Тогда отображение Т, а следовательно, и отображение Т имеют неподвижную точку. [38]
В настоящем параграфе проводится геометрически наглядное рассмотрение точечных отображений. Рассматривается преобразование прямой в прямую, окружности в окружность, излагается метод неподвижной точки и метод вспомогательных отображений, приводится значительное число примеров точечных отображений, представляющих интерес для качественного исследования дифференциальных уравнений и связанных с ними колебательных явлений. [39]
В настоящем параграфе проводится геометрически наглядное рассмотрение точечных отображений. Рассматривается преобразование прямой в прямую, окружности в окружность, излагается метод неподвижной точки и метод вспомогательных отображений, приводится значительное Число примеров точечных отображений, представляющих интерес для качественного исследования дифференциальных уравнений и связанных с ними колебательных явлений. [40]
Если касание есть, то наличие слабых устойчивых движений неизбежно. Причина их образования понятна из рассмотрения ситуации 2 в предыдущем параграфе и вызвана обращением в бесконечность производной от вспомогательного отображения, обозначенного там буквой L, па некоторой линии. Более детально этот вопрос мы рассмотрим в следующей гл. Сказанное в отношении аттракторов в условиях, когда возможно и естественно либо уменьшение фазового объема, либо его увеличение, требует существенных дополнений в случае гамильто-новой системы. [41]
Следует подчеркнуть принципиальные моменты, связанные с таким обобщением. Качество статистики т типа (4.5.3) применительно к конкретной задаче оценивания надежности может быть исследовано априори только при условии, что используемые вспомогательные отображения г типа (4.5.6) адекватно отражают особенности реального объекта оценивания. Только в этом случае сходимость R ( х) - R л ( 9) при увеличении объема выборки обеспечивает состоятельность оценки надежности. [42]
Рассмотрим отображение Тая в случаях таких касаний и к ним близких. Случай касания изображен на рис. 7.125. Для исследования точечного отображения Т2Я в случае, близком к изображенному на рис. 7.125, прибегнем к методу вспомогательных отображений. Обозначим это отображение через L. Для точек М и N, изображенных на рис. 7.125 - это Т л - В соответствии с поведением сепаратрис окрестность точки М, изображенная на рис. 7.126, преобразуется в подковообразную область б ( М), показанную на том же рисунке. [43]
Рассмотрим отображение 7 ая н случаях таких касаний и к ним близких. Случай касания изображен на рис. 7.125. Для исследования точечного отображения Гал в случае, близком к изображенному на рис. 7.125, прибегнем к методу вспомогательных отображений. [44]
При возрастании т в зависимости от того, однозначна функция ф или многозначна, возможны два разных случая. Напротив, во втором случае получающаяся кривая не имеет предельной касательной. Она имеет вид, показанный на рис. 7.109. При этом вспомогательное отображение Тт многозначное. В первом случае, напротив, это отображение однозначное. [45]