Cтраница 3
Обычно этот гомоморфизм также называют аугментацией. Он совпадает, очевидно, с гомоморфизмом, индуцированным отображением X в одноточечное пространство. [31]
Пусть R ( f) - множество точек из X, в которых индуцированное отображение касательных пространств не является изоморфизмом. [32]
Тогда множество Н ( х, а) для любого объекта х следующим образом превращается в объект с композицией в категории множеств с отмеченной точкой: если аь а26 / / ( х, а), то полагаем ах 2 - ( at X а2) ь Если - f: х - У то отображение 7 ( 7 sa) Н ( у, а) - Н ( х, а) оказывается гомоморфизмом. Обратно: пусть множества Н ( xt а) являются объектами с композицией, причем для всякого 7 х - У индуцированное отображение f является гомоморфизмом. Тогда объект а однозначно превращается в объект с такой композицией, что индуцированные композиции в Н ( х, а) совпадают с заданными. [33]
Для доказательства ( i) заметим, что из 9.5 вытекает существование сохраняющего орбитную структуру эквивариантного отображения X - - Y. Оно индуцирует отображение /: Х - - / У, где /: X / G - Y / G - индуцированное отображение одного пространства орбит в другое. [34]
Самыми простыми структурно устойчивыми динамическими системами с дискретным временем являются диффеоморфизмы Морса - Смейла, которые имеют конечное множество возвращающихся точек. В этой работе мы изучаем вопрос о том, какие связ ные компоненты в пространстве всех диффеоморфизмов содержат системы Морса - Смейла, В случае когда размерность многообразия больше пяти, мы сводим этот вопрос - к вопросу из алгебраической топологии, относящемуся к многообразию и к рассматриваемой компоненте, а именно связанному с клетками, фундаментальной группой и индуцированными отображениями. В односвязном случае мы нашли следующие простые необходимые и. Морса - Смейла тогда и только тогда, когда все собственные значения индуцированного отображения в гомологиях являются корнями из единицы. [35]
Заметим, что морфизм ф является доминирующим. I, § 5, теорема 9 ]) существует линейное отображение Ап - Аг, задаваемое г X -матрицей G, такое что индуцированное отображение An - V конечно. Если зафиксировать произвольную точку b е Аг, то это означает, что существует г аффинных гиперплоскостей Ап, описываемых ( G, &), пересекающих V по непустому конечному множеству. [36]
Достаточно показать, что с ( [ ]) 0, где Л: V - У, а V-многообразие. По теореме уплощения ( [ Raynaud - Gruson 1 ], 5.5.2) существует собственный бирациональный морфизм У - У и замкнутая подсхема V С V х у У, такая, что индуцированное отображение g: V - У плоско, a F - К бирационально. [37]
Далее, пусть X - данное гладкое ( т 1) - мерное многообразие с краем В. Иными словами, мы будем рассматривать пары ( М, ( р), где М - гладкое специальное G-многообразие и ( р: М - X - гладкое отображение, которое пропускается через фактормногообразие M / G таким образом, что индуцированное отображение ( р: M / G - X есть диффеоморфизм. [38]
Рассмотрим X как ( левое) G-пространство, а Х - - В - как проекцию на пространство орбит. Покажите, что индуцированное отображение К - - В является проекцией ассоциированного Я 0-расслоения, где H G - пространство правых смежных классов группы G по подгруппе Я и структурная группа О действует на Я 0 правыми сдвигами. [39]
Например, если тетраэдр вписан в сферу, то отрезки, соединяющие центр сферы с граничными точками тетраэдра, могут быть отображены на радиусы сферы простым растяжением из центра сферы. Растяжение должно быть равномерным вдоль каждого из этих отрезков и таким, чтобы оно растягивало отрезок как раз в радиус. Такое отображение вполне подходит для целей распространения теоремы Брауэра о неподвижной точке на случай шара, а именно, если мы рассмотрим любое непрерывное отображение шара в себя, то естественно индуцируемое отображение симплекса в себя непрерывно и, следовательно, существует неподвижная точка. Точка шара, являющаяся образом неподвижной точки при индуцированном отображении, будет неподвижной точкой для первоначального отображения. [40]
Самыми простыми структурно устойчивыми динамическими системами с дискретным временем являются диффеоморфизмы Морса - Смейла, которые имеют конечное множество возвращающихся точек. В этой работе мы изучаем вопрос о том, какие связ ные компоненты в пространстве всех диффеоморфизмов содержат системы Морса - Смейла, В случае когда размерность многообразия больше пяти, мы сводим этот вопрос - к вопросу из алгебраической топологии, относящемуся к многообразию и к рассматриваемой компоненте, а именно связанному с клетками, фундаментальной группой и индуцированными отображениями. В односвязном случае мы нашли следующие простые необходимые и. Морса - Смейла тогда и только тогда, когда все собственные значения индуцированного отображения в гомологиях являются корнями из единицы. [41]
Ьм - это отображения граничного значения; они описывают скачки на границе граничных значений, взятых с каждой стороны. Тогда имеем области М - с границей Шилова М0 R4, и векторные расслоения превра щаются в тривиальные спинорные расслоения, так что мы просто пользуемся конструкцией Мартино граничных значений скалярных голоморфных функций в трубчатых областях. Отображение SM есть внутреннее описание Сато гиперфункций на М, обобщенное на случай коэффициентов в векторном расслоении. Отображения SP и SF являются обобщениями отображения SM. Отображение SF есть его дальнейшее расширение на высшие коразмерности и представляет собой частный случай общего результата Сато и др. [ 28, гл. Эти отображения среди прочего связаны с теоремой Коши - Ковалевской. Как мы видели в § 1, ЬР есть изоморфизм. Определим ЬР как индуцированное отображение. Внутреннее описание отображения Ьр потребовало бы перенесения результатов Мартино на более общие трубчатые области ( типа ( Г 1) с заменой голоморфных функций на когомологические классы. Насколько нам известно, это пока еще не проделано, но в нашем случае можно обойтись без общего определения, поскольку рассматриваемое отображение индуцируется остальными. [42]
Обратно, любая такая пара эквивариантных отображений задает отображение, удовлетворяющее наложенным на Ф условиям. Если type G ( а) type С / Я, Tof ( a) 0, так как в Y имеются лишь орбиты типа С / Я Так как множество всех орбит типа, меньшего чем type С / Я, замкнуто ( его дополнение открыто в силу 5.5), тоф продолжается на него нулем. Следовательно, мы можем считать, что А содержит все орбиты типа, меньшего чем type С / Я. Так как множество всех орбит тина, не превосходящего type С / Я, тоже замкнуто ( см. упражнение 4 гл. I), то и множество Л U Х ( я) замкнуто. Я) состоит из орбит меньшего типа, то Х ( Н) - Х ( Н с: Z. Кроме того, f продолжается на Ли / д в силу классической теоремы Титце, примененном к индуцированному отображению пространств орбит. При этом можно добиться того, чтобы / было отлично от нуля во всех точках множества Х ( я: действительно, можно прибавить к f вещественную ( эквивариант-ную) функцию, равную нулю в точности на А ( например, взять расстояние до точки Л / С в некоторой метрике на X / G) и затем поделить эту сумму на большое число с тем, чтобы она не превосходила единицу. [43]