Cтраница 3
В частности, если кольцо, R представляет собой кольцо Z целых чисел, тогда каждый R-модуль оказывается просто абелевой группой и категория Tf называется категорией абелсвых групп и обозначается символом ТГло - Вели же кольцо R есть поле, каждый R-модуль оказывается линейным ( векторным) пространством над R, а каждый R-модульпый гомоморфизм (: X - - Y является линейным отображением пространства X в пространство У. [31]
Пусть Е - борнологическое и F - произвольное локально выпуклое пространство. Если 8Г - сильно ограниченное множе ство линейных отображений пространства Е в F, то & - равностепенно непрерывно. То же самое заключение справедливо, если Е инфрабочечно и каждое отображение из ЗГ непрерывно ( ср. [32]
Всегда можно допустить, что плоскость w Q не принадлежит к этому множеству. В противном случае мы, с помощью соответствующего линейного отображения пространства С на себя, перейдем к новым переменным ( которые мы снова обозначим через w и г), после чего указанное условие будет соблюдено. [33]
Очевидно, что М ( Вп) изоморфна группе оМ ( Вп) о-1. Мы сейчас покажем прямым вычислением, что аМ ( Вп) а-1 является группой линейных отображений пространства R 1 и, следовательно, может быть представлена матричной группой. [34]
Правило У - ( У ( а), У ( Ь)) определяет линейное отображение пространства ЗП в ТРМ х TQM. Это отображение инъек-тивно, ибо р и g не сопряжены вдоль у. [35]
В связи с теоремой 8.9.4 интересно отметить, что бочечные пространства могут быть охарактеризованы с помощью теоремы о замкнутом графике в классе всех локально выпуклых пространств. Маховальд [1] показал, что локально выпуклое пространство F бочечно тогда и только тогда, когда всякое замкнутое линейное отображение пространства F в произвольное банахово пространство Е является непрерывным. [36]
Для линейных операторов определены действия сложения и умножения на число согласно формулам ( 3); можно показать, что множество всех линейных отображений пространства L в I / само образует линейное пространство. [37]
X является ко-нечнолистным ( разветвленным) накрытием аффинного d - мерного пространства Аа, точнее, обладает конечным морфизмом на Ad. Более того, если А - замкнутое подмножество в А; , то указанный морфизм может быть реализован как сужение на А нек-рого линейного отображения пространства k на его d - мерное линейное подпространство. [38]
Пространство Vi V отождествляется, как мы видели, с пространством билинейных форм над Уг X V. Тогда изоморфизм г сопоставляет каждой билинейной форме В над У. X V естественно соответствующее ей линейное отображение пространства V в V этот факт легко усмотреть, рассматривая случай, когда В - произведение линейной функции х на У. [39]
Нам нужно показать, что соотношение ( 3) определяет и как слабо компактное линейное отображение пространства L1 в F. Но тогда множество f ( T) слабо ограничено, а потому ограничено в F. Из теорем 8.14.14 и 8.15.2 следует, чго соотношение ( 3) определяет и как линейное отображение пространства L1 в F. Наша задача показать, что и слабо компактно. [40]
Однако это не обычные спиновые пространства, а скрученные в указанном выше смысле. Чтобы показать это, рассмотрим любой [ ] - твистор Wa. Для каждого X е СМ мы получим конкретное поле ЦА, а именно цл [ X ] e A / [ JC ], что в Т соответствует ограничению линейного отображения Wa пространства Т до подпространства X. X, который показывает, что пространство X канонически отождествляемо с пространством Бл [ Х ], дуальным ( сопряженному) спиновому пространству A [ JC ] в точке X. При изменении X над М эти пространства 5д [ ЛТ ] должны быть непрерывно связаны друг с другом подходящим скручиванием, дуальным скручиванию спинора IA, характеризующего пространство 9 АГ-Этим и доказывается наше утверждение. Слои взаимно дуальных расслоений 9Аг и 9А точечно дуальны друг другу. [41]
Пусть Е, F и G - три локально выпуклых пространства, причем G отделимо, а F - векторное подпространство в GT, где Т - некоторое множество. G, что для каждого х е Е функция t - h ( l) ( x) принадлежит F. Тогда и есть линейное отображение пространства Е в F. Если, кроме того9 пространство Е бочечно, а F Вг-полно, то и непрерывно. [42]
V в алгебру S может быть продолжено в деривацию D алгебры R и притом единственным образом. Эта деривация переводит алгебру S в себя; если ср однородно степени т, то тем же свойством обладает ограничение деривации D на алгебру S. Отображение ср - D9 пространства линейных отображений пространства V в алгебру S в пространство дериваций алгебры R линейно. [43]