Cтраница 2
КЛЕЙНА ПРОСТРАНСТВО, однородное пространств о - топологическое пространство, в к-ром определена группа гомеоморфных отображений этого пространства на себя, обладающая тем свойством, что для каждых двух точек пространства А и В существует преобразование этой группы, переводящее точку А в точку В. [16]
Действительно, так как отображение Ф взаимно однозначно, то существует топологическое пространство 33, имеющее V множеством своих точек и такое, что Ф есть гомеоморфное отображение этого пространства на подпространство Ф ( V) пространства Rn; открытыми множествами в 93 являются множества, отображаемые посредством Ф на открытые множества пространства Rn. Проверка того, что соответствие р - ft ( 70 удовлетворяет условиям I, II и III § I, не представляет никакого труда. [17]
Заметим, что теорема Д. Е. Меньшова [17], относящаяся к условию А), представляет существенное обобщение следующей теоремы Бора: если для функции / ( z), дающей гомеоморфное отображение области G, в каждой точке области существует конечное положительное растяжение. [18]
Отображение / топологической группы G на топологическую группу Я называется изоморфизмом, если 1) f является изоморфным отображением группы G на группу Я; 2) f является гомеоморфным отображением топологического пространства G на топологическое пространство Я. [19]
С порядка ц ( ц0, если Р - нуль; л - 1, если Р - простой полюс), существует окрестность N этой точки на 31 и гомеоморфное отображение N на круг ш / 1, при котором максимальная дуга каждой траектории из N переходит в открытую дугу, на которой Im w 2) 2 постоянна. [20]
Если отображение / множества Е с X на множество G c Y является взаимно однозначным и непрерывным и если обратное отображение / - 1 множества G на множество Е также непрерывно, то / называется гомеоморфным отображением или гомеоморфизмом. [21]
Если Р дополнение G до z 1, то для того, чтсбы G было G, невидимому, необходимо и достаточно, чтобы мера mF - 0 к mf ( F) 0, где / ( z) произвольное гомеоморфное отображение z 1 ш w l, квазиконформное с ограниченными непрерывными характеристиками на G. [22]
Взаимно однозначное и взаимно непрерывное отображение называется гомеоморфным. Гомеоморфное отображение обладает тем свойством, что каждой точке прообраза оно ставит в соответствие единственную точку образа и каждым двум различным точкам прообраза оно ставит в соответствие две различные же точки образа. [23]
Точка z ( 0) называется началом пути, z ( I) - его концом. Если т ср ( t) - гомеоморфное отображение отрезка 0 Л на отрезок 0 т 1 и у ( 0) 0, у ( 1) 1, то пути z ( t) и г [ 9 ( т) 1 считаются одинаковыми. [24]
Заметим еще, что условия, наложенные на эквивалентные отображения в определении 1, независимы. Именно, из того, что F является гомеоморфным отображением замкнутой области D на замкнутую область Db не следует, что оно переводит внутренние точки во внутренние. [25]
В примечании 121 была отмечена недостаточность такого подхода в отношении топологии. В современных представлениях речь идет не о группе всех гомеоморфных отображений некоторого пространства М на себя, а о категории всех топологических пространств и их непрерывных отображений. [26]
Пусть теперь К - произвольное множество точек плоскости, гомеоморфное окружности, и qo K. Так как для любых двух окружностей с отмеченными точками существует гомеоморфное отображение одной окружности на другую, переводящее отмеченную точку в отмеченную точку, то имеется гомеоморфное отображение ф окружности С на К, переводящее точку ( 1, 0) в) о. Таким образом, h есть параметризация простого замкнутого пути U, множеством точек которого служит К, а началом - до. [27]
В случае произвольного гомеоморфизма / нужно воспользоваться теоремой Дена Ликориша и представить гомеоморфизм / - ] / о в виде композиции скручиваний Дена. Для этих скручиваний мы аналогичным образом выбираем соответствующие им полнотория Ti и строим гомеоморфное отображение S3 U Ti на М3 U Т (, как это делалось выше. При этом нужно лишь позаботиться, чтобы полнотория Ti попарно не пересекались. [28]
R ( C JH) существуют окрестность N точки Р на Л и гомеоморфное отображение jV на круг ц11 ( ши гу) такие, что максимальная открытая дуга каждой траектории из N переходит в отрезок, на к-ром v постоянно. [29]
Если же преобразуемое множество является топологическим пространством, то среди всех его преобразований естественно выделить гомеоморфные отображения на себя. Преобразованием или топологическим преобразованием топологического пространства X называют любой гомеоморфизм пространства X на себя. Поскольку тождественное отображение и композиция ( произведение) двух гомеоморфизмов X на X являются гомеоморфизмами, отображение, обратное гомеоморфизму - гомеоморфизм, семейство всевозможных преобразований топологического пространства X есть группа. [30]