Cтраница 3
В заключение укажем еще на существование примера отображения круга г 1 на круг ш 1, при котором некоторое граничное множество на единичной окружности меры нуль переходит во множество положительной меры. Он интересен как сам по себе, так и тем, что при его построении выясняется вопрос: каким необходимым и достаточным условиям должно удовлетворять гомеоморфное отображение окружности г Г на окружность до 1, чтобы его можно было дополнить до квазиконформного отображения круга на круг. [31]
Пусть теперь К - произвольное множество точек плоскости, гомеоморфное окружности, и qo K. Так как для любых двух окружностей с отмеченными точками существует гомеоморфное отображение одной окружности на другую, переводящее отмеченную точку в отмеченную точку, то имеется гомеоморфное отображение ф окружности С на К, переводящее точку ( 1, 0) в) о. Таким образом, h есть параметризация простого замкнутого пути U, множеством точек которого служит К, а началом - до. [32]
Ставя в тождественное соответствие друг другу соответствующие интервалы смежности Я и PJ, лолучим топологическое отображение ау ( х) сегмента [0,1] на сегмент [0,2], переводящее Р в Р, н интервалы смежности Р тождественно в соответствующие интервалы смежности Я. Если теперь взять отображение и у ( х ( 0 - - с 1), v - у ( 0 i у 1), то получим гомеоморфное отображение квадрага на прямоугольник, переводящее множество меры нуль, проектирующееся на Р, в множество положительной меры, проектирующееся на Рг и конформное с производной, равной I, на остальной части квадрата. Ясно, что для всего квадрата отображение не будет конформным. [33]
Из доказанных предложений объявленная в начале параграфа теорема вытекает непосредственно. Мы докажем здесь более сильную теорему 3, утверждающую, что для любого гладкого отображения многообразия Mk в евклидово пространство C2 / t41 существует сколь угодно близкое к нему регулярное и гомеоморфное отображение этого многообразия, а для любого гладкого отображения многообразия М1 в евклидово пространство С2 / с существует сколь угодно близкое к нему регулярное отображение. Для точной формулировки теоремы 3 необходимо ввести понятие близости класса т отображений, учитывающее все производные до порядка т включительно. [34]
Следовательно, топологическими свойствами аналитических функций, полностью характеризующими их с качественной точки зрения, являются инвариантность открытого множества и инвариантность континуума. Важная роль, которую играет здесь инвариантность открытого множества, заставляет обратить внимание на связь этого вопроса с теоремой Брауэра из первой главы: действительно, с топологической точки зрения аналитические функции возникли как естественное обобщение гомеоморфных отображений. [35]
Если отображение ф регулярно в каждой точке а ЕЕ Mfc, то оно называется регулярным. Легко проверяется, что если отображение ф регулярно в точке а, то оно регулярно и гомео-морфно в некоторой окрестности точки а. Регулярное гомеоморфное отображение называется гладким вложением. [36]
ЕЕ Qr V - шаровая окрестность точки с, взятая в этой системе координат. Легко построить регулярное гомеоморфное отображение ф многообразия ( 7 на себя, при котором все точки множества Qr V остаются на месте, а точка 60 переходит в точку Ьг. Очевидно также, что степень отображения ф / 0 в точке Ьг равна степени отображения / 0 в точке Ь0, а так как отображения ф / о и / о гомотопны между собой, то степени их в точке &. [37]
Пусть V - окрестность точки Q в М2, гомеоморф-ная - мерному евклидову пространству Еп. Возьмем такую лежащую в Л и гомеоморфную Еп окрестность U точки Q, чтобы ее образ при нашем отображении / лежал в V. Если t и / 2 - гомеоморфные отображения на Е окрестностей U и V соответственно, то отображение tzfti1 отображает Еп в себя. По доказанному образ e - t2ft l ( En) всего пространства Еп есть открытое в Еп множество. [38]
W из G содержит область. Выбираем такую область F, чтобы замыкание ее V было компактно и содержалось в W. Трансляции вида хТаЪ xab, xSab xSaSb взаимно обратны и потому являются гомеоморфными отображениями G на себя. Обозначая образ VTt в Gx через Fif видим, что F; образуют счетное покрытие пространства Сх замкнутыми множествами. [39]
Отсюда следует, что отображение о - о-1 пространства GL ( n C) на себя непрерывно. Так как это отображение совпадает с обратным к нему, то оно является гомеоморфным отображением второго порядка пространства GL ( n C) на себя. [40]