Cтраница 1
Эквивариантное отображение f: Х - ь - Х одного G-пространства в другое называется сохраняющим орбитную структуру, если индуцированное им отображение X1 / G - - X2 / u сохраняет G-орбнтную структуру. [1]
Существование эквивариантного отображения К - t S - 1 и есть препятствие взрезанного квадрата к вложимости К в Rm. [2]
В силу 5.13 эквивариантные отображения ф: А - Y находятся в естественном взаимно однозначном соответствии с заданными над A / G сечениями - расслоения YHxKXH - X / G, ассоциированного с главным расслоением Хн - - - X / G. [3]
Затем продолжим / до эквивариантного отображения f: X - V. [4]
Описанное выше приложение к эквивариантным отображениям взято из работы Бредона [21], где теорема 11.2 по небрежности неправильно доказана. [5]
Обратно, любая такая пара эквивариантных отображений задает отображение, удовлетворяющее наложенным на Ф условиям. Если type G ( а) type С / Я, Tof ( a) 0, так как в Y имеются лишь орбиты типа С / Я Так как множество всех орбит типа, меньшего чем type С / Я, замкнуто ( его дополнение открыто в силу 5.5), тоф продолжается на него нулем. Следовательно, мы можем считать, что А содержит все орбиты типа, меньшего чем type С / Я. Так как множество всех орбит тина, не превосходящего type С / Я, тоже замкнуто ( см. упражнение 4 гл. I), то и множество Л U Х ( я) замкнуто. [6]
В силу 9.5 существует сохраняющее орбитную структуру эквивариантное отображение / 2: X - Y с: Rm. [7]
Отметим, что если /: Х - - Y - эквивариантное отображение G-пространств, a U есть G-покрытие пространства Y, то f - lU f - lU I U e U является G-покрытием пространства X, регулярным в случае регулярности U. Отсюда вытекает естественность конструкций, основанных на переходе к пределу по множеству всех G-покрытий или регулярных G-покрытий. [8]
Для того чтобы иметь возможность применить замечания предыдущего параграфа, мы должны найти эквивариантное отображение 6: S - vO ( п), где О ( я) действует на себе сопряжениями. Такие отображения легко описать следующим образом. Из непрерывности отображения 6 следует, что при любом изменении точки х мы все равно останемся в пределах какой-то одной возможности. [9]
Но если, например, G-отображение /: JG P - М продолжается в эквивариантное отображение F: Z [ G ] JG P - М, то для любого G-отобра-жения h: JG q - N и G-отображение / 8 h: JG ( p q - М N продолжается в эквивариантное отображение F h: Z [ G ] JG ( p q) ( Z [ G ] JG P ] JG q - М N. Поэтому вышеприведенное определение 2.1 корректно. [10]
Очевидно, что при этом проекция касательного диска в х0 на сферу 5я является эквивариантным отображением. Следовательно, для О ( л) - инвариантного диска D с: S с центром в х0 карта ф: D x D - P - l ( Dn) может быть выбрана 0 ( л) - ин-вариантной, где О ( л) действует на D XD диагонально. Каждый из экземпляров пространства Е ( т) имеет еще по одной неподвижной точке - точке - х018п, и эти точки можно использовать для дальнейшего водопроводного соединения. Итак, для любого k на Р2п ( А /) возникает естественное О ( л) - действие. [11]
Для доказательства ( i) заметим, что из 9.5 вытекает существование сохраняющего орбитную структуру эквивариантного отображения X - - Y. Оно индуцирует отображение /: Х - - / У, где /: X / G - Y / G - индуцированное отображение одного пространства орбит в другое. [12]
Для фиксированной группы G класс G-пространств является классом объектов некоторой категории, морфизмы которой называются эквивариантными отображениями. Эквивариантное отображение ф: X - Y, являющееся также гомеоморфизмом, называется эквивалентностью G-пространств. [13]
В § 11 когомологическая техника применяется к изучению конусов отображений с целью получения некоторых результатов об эквивариантных отображениях сфер с линейными инволюциями. [14]
Если К - компакт ное инвариантное подпространство G-пространства Х и f: К - - - V - эквивариантное отображение К в линейное G-простран-ство, то f допускает эквивариантное продолжение f: X - - У. [15]