Cтраница 2
Конечно, все сказанное выше не решает проблемы построения эквивариантных гомеоморфизмов, но, вообще говоря, отыскивать эквивариантные отображения легче, чем эквивариантные гомеоморфизмы и, действительно, приведенная выше конструкция будет использоваться нами в следующем параграфе для построения соответствующих примеров. Тогда отображение Лх Л-v G, заданное формулой ( а, а) - Qa, очевидно, экви-вариантно. В силу сказанного выше заключаем, что отображение ( а, а) i - ( 6а ( а), 6а ( а)) задает эквивариантный гомеоморфизм пространства Л х Л на себя. [16]
Пусть G - конечная группа, X и Y - na - ракомпактные G-пространства и f: X - Y - эквивариантное отображение. [17]
Заметим, что по определению в (3.1) 0 ( У) гГ ОО, т.е. 0 ( У) 6 Ж есть эквивариантное отображение из L ( M) в Ж, отвечающее Y как сечению касательного расслоения. [18]
Если ( М, LJ) - симплектическое многообразие с симплектиче-ским действием группы Ли G, то при слабых ограничениях можно определить эквивариантное отображение моментов р, : М - g, принимающее значения в двойственном пространстве алгебры Ли группы G, для которого выполнено следующее условие. [19]
Пусть G, М, N такие же, как и в 4.2. Тогда любое эквивариантное отображение M - - N эквивариантно гомотопно гладкому эквивариантному отображению. [20]
Пусть X, Y и Z суть G-npo - странства, и пусть /: X - - Z и h: У - Z - эквивариантные отображения. [21]
Аналогично, отображение G x / / V - - R, заданное формулой [ § и ] - f ( V - l s / r), продолжается до эквивариантного отображения т: М - - К, которое является ненулевым в точности тогда, когда: v ir ( где G действует на R тривиально. [22]
Но если, например, G-отображение /: JG P - М продолжается в эквивариантное отображение F: Z [ G ] JG P - М, то для любого G-отобра-жения h: JG q - N и G-отображение / 8 h: JG ( p q - М N продолжается в эквивариантное отображение F h: Z [ G ] JG ( p q) ( Z [ G ] JG P ] JG q - М N. Поэтому вышеприведенное определение 2.1 корректно. [23]
Для фиксированной группы G класс G-пространств является классом объектов некоторой категории, морфизмы которой называются эквивариантными отображениями. Эквивариантное отображение ф: X - Y, являющееся также гомеоморфизмом, называется эквивалентностью G-пространств. [24]
Более общо, пусть Q: Rep M - W - геометрич. GLk ( n) - эквивариантное отображение многообразия реперов порядка k на М в пространство W, на к-ром действует группа GLk ( n) fr - струй в нуле диффеоморфизмов R, сохраняющих начало координат. [25]
Рассмотрим симплициальный комплекс L и непрерывное отображение k: X - - L. Если L есть G-комплекс и k - эквивариантное отображение, то k L - инвариантное покрытие. Кроме того, если L удовлетворяет условию ( А) § 1, то ему удовлетворяет и нерв K. Для доказательства этого факта полезно переформулировать для нерва покрытия условия ( А) и ( В) § 1 непосредственно в терминах покрытия, см. ниже. [26]
Пусть G - компактная группа Ли, гладко действующая на многообразиях М и N, и пусть ср: M - N - эквивариантное ( непрерывное) отображение. Тогда ср м ( жет быть аппроксимировано гладким эквивариантным отображением if: М - - N, которое эквивариантно гомотопно отображению ф посредством гомотопии, аппроксимирующей постоянную гомотопию. Более того, если ф уже гладкое на замкнутом инвариантном множестве A cz M, то отображение if может быть выбрано так, что оно на А совпадает с ф а гомотопия между ф а if там постоянна. [27]
В первых пяти параграфах мы приводим определения и простейшие свойства основных понятий, которые встретятся нам в этой книге. Так, топологические группы преобразований определяются в § 1, эквивариантные отображения, эквивалентность групп преобразований и понятие стационарной группы обсуждаются в § 2; там же доказывается полученный Глисоном экви-вариантный аналог теоремы Титце о продолжении. В § 5 обсуждаются множества неподвижных точек. [28]
Пусть G - компактная группа Ли и X, Y - два G-пространства, и пусть пространство X / G вполне параком-пактно. Пусть, далее, /: X - Y - эквивариантное отображение и /: X / G-v Y / G - индуцированное им отображение. [29]
Тогда существуют такое ортогональное действие группы G на некотором евклидовом пространстве R и такое гладкое эквивариантное отображение б: M - vjR, которое является вложением ( в гладком смысле) на К. [30]