Cтраница 3
Диагональное действие группы G на X х Y, ( g ( x, у) 1 - ( g ( x), g ( у)), очевидно, переводит пространство X х гУ в себя и, следовательно, превращает его в G-npo - странство. При этом проекции /: XXzY - - Y и h: XXzY - X являются эквивариантными отображениями. [31]
Очевидно, в ее формулировку ( и доказательство) можно ввести различные специальные структуры, постоянные вдоль лучей. Отметим, например, импликацию теоремы 8.3 для G-пространств, являющихся цилиндрами ( с нижним основанием А) эквивариантных отображений. [32]
Покрытие U без ограничения общности можно считать локально конечным. Пусть f есть G-разбиение единицы, подчиненное покрытию U, a /: Х - К () - ассоциированное с ним эквивариантное отображение. [33]
Одноточечная компактификация Х [ ] пространства X удовлетворяет условиям теоремы 10.1 и, следовательно, вкладывается в некоторое Rp. Точка является, очевидно, неподвижной точкой G-действия, откуда легко следует, что сдвиг пространства Rp, переводящий образ точки в 0, - эквивариантное отображение. Следовательно, можно считать, что при вложении точка попадает в начало координат. [34]
В § 3 мы изложим некоторые основополагающие факты о редукции структурной группы расслоения. Эти сведения мы применим в § 4 для доказательства теоремы о трубке, утверждающей, что если пространство орбит некоторого G-действия является многообразием с краем, и имеется лишь два орбитных типа ( один из которых соответствует точкам края), то часть G-прост-ранства, расположенная над кромкой, имеет структуру цилиндра некоторого эквивариантного отображения. Этот результат в локально гладком случае есть аналог относительно простой теоремы о трубчатой окрестности в гладком случае и является основным в оставшейся части главы. [35]
Обозначим через MapG ( piB, a) множество всех эквивариант-ных отображений ty: Е ( р В) - vE ( а) чад В. С учетом того, что Map0 ( G / Я, G / K) ( G / K) ff, из II.2.8 следует, что имеется расслоение ji - Map0 ( р I Ви а) ( зависящее от р j В, и а) над В со слоем ( G / K) и структурной группой N ( H) / HxN ( K) / K, при этом имеется каноническое взаимно однозначное соответствие Mapff ( pjfij, a) - - Г ( ji) между эквивариантными отображениями над В и сечениями расслоения ] а. Кроме того, как показывает замечание после II.2.8, эквивариантные гомотопии между отображениями соответствуют гомотопиям между сечениями. [36]
Ei, где EI - тотальное пространство главного К - расслоения, являющееся компактным ( п - 1) - связным полиэдром. Предположим, что У / вкладывается как эквивариант-ный окрестностный ретракт в евклидово пространство с ортогональным G-действием. Тогда любое сохраняющее орбитную структуру эквивариантное отображение р: А - - У замкнутого инвариантного подмножества АаХ можно продолжить до сохраняющего орбитную структуру эквивариантного отображения ty: X - У. [37]
Рассмотрим специальные группы ЯР ( К (), К ( Л)), Я. Как показано в § 3, эквивариантные отображения индуцируют гомоморфизмы этих групп. [38]
Пусть р: W - В - главное G-расслоение, и пусть А и Л - два правых G-пространства. Покажите, что переход к пространствам орбит устанавливает взаимно однозначное соответствие между эквивариантными отображениями г ]: А х Й7 - А X Й7, коммутирующими с проекциями иа W, и отображениями /: Ax W - A XGW ad В. Map ( А, А) ( где G действует иа Map ( Л, А) посредством формулы ( g ( /)) ( а) f ( ag) g 1) и что теорема 2.6 задает взаимно однозначное соответствие между такими отображениями и сечениями i) ассоциированного расслоения Мар ( Л, А) Ха W7 - В. [39]
Расслоение nw: W ( М) - - М ( ассоциированное с М / г uW) наз. W находятся в естественном взаимно однозначном соответствии с 6 / / й ( ге) - эквивариантными отображениями S: Mk - W. [40]
Ei, где EI - тотальное пространство главного К - расслоения, являющееся компактным ( п - 1) - связным полиэдром. Предположим, что У / вкладывается как эквивариант-ный окрестностный ретракт в евклидово пространство с ортогональным G-действием. Тогда любое сохраняющее орбитную структуру эквивариантное отображение р: А - - У замкнутого инвариантного подмножества АаХ можно продолжить до сохраняющего орбитную структуру эквивариантного отображения ty: X - У. [41]
Сначала обсудим необходимый для дальнейшего технический момент. Тогда для любой компоненты В1 края В проекция р - 1 ( I х В) - v В есть УИя-расслоение, где п: G / Я - - G / K - некоторое ( зависящее от /) эквивариантное отображение; этот факт следует из теоремы 4.2 о трубке. Назовем G-пространство У собственным ( относительно Я и / С), если ( для любого г) отображение я можно сделать канонической проекцией G / H - G / K. В силу 4.3, если ( G / K) H связно, то все G-npo - странства над X собственные, и это будет выполняться во всех случаях, с которыми мы будем иметь дело. Если В связно, то К можно заменить такой сопряженной подгруппой, что данное У станет собственным относительно новой пары ( Я, / С), но одновременно для всех У этого сделать нельзя. [42]
В § 3 доказывается общая теорема, которая позволяет заменить некоторые типы изотопии эквивариантными изотопиями. В § 4 мы докажем теорему Пале и Мостова о гладком эквивариантном вложении и применим ее к доказательству теоремы о гладкой эквивариантной аппроксимации непрерывных эквивариантных отображений и гомотопий. [43]