Cтраница 3
Естественно, чем больше членов содержит конечно-разностная схема, тем лучшим оказывается приближение к непрерывным данным и, следовательно, более точной формула интегрирования или дифференцирования. Первые отброшенные члены в этих выражениях обычно хорошо оценивают ошибку усечения. [31]
Многошаговые методы, основанные на этой идее, весьма эффективны. Если требуется высокая точность, то они обычно более экономичны, чем одношаговые методы, и часто можно тривиально получить оценку ошибки усечения. Порядок метода может выбираться автоматически и динамически изменяться, тем самым получаются методы, работающие для очень широкого круга задач. В процессе решения могут выявляться некоторые виды ошибок. Жесткие уравнения ( обсуждаемые ниже) могут решаться некоторыми многошаговыми методами, и уравнения можно автоматически классифицировать как жесткие или нежесткие. Эти достоинства приобретаются ценой усложнения программы и в некоторых случаях за счет возможной численной неустойчивости. [32]
Такое поведение связано с тем, что повышение температуры на входе в реактор вызывает увеличение постоянных скоростей. Это ведет к увеличению ошибок усечения при итеративном процессе с фиксированным А. [33]
Приведенные выше выражения достаточно просты и, конечно, написать программу для вычисления траекторий лучей не составляет труда. Однако следует обратить внимание на два важных аспекта. Очевидно, что слишком большая величина h приведет к ошибкам усечения, в то время как слишком маленькая величина h скажется в ошибках округления. Шаг должен быть выбран так, чтобы отношение ( k2 - k3) / ( kl-k 2) оставалось малой величиной ( максимум 0 02 - 0 03) вдоль всей траектории. Для расчета линзы обычно требуется 400 - 500 шагов. [34]
Используя эту формулу для численной аппроксимации f ( t), мы вводим ошибку усечения Ет, которую необходимо добавить к предыдущей для вычисления общей ошибки приближения. Чтобы уменьшить ошибку Ed, применяется так называемый метод корректировки. Кроме того, для ускорения сходимости, используют е-алго-ритм, уменьшающий ошибку усечения. [35]
Чтобы обнаружить расходящееся решение при отсутствии колебаний, а при сходящемся решении проверить точность, необходим какой-либо метод. Для этих целей, как показывают численные расчеты, нельзя использовать метод Ричардсона замедленного приближения к пределу [ 33, стр. В методе Ричардсона принято, что поведение общей ошибки решения непосредственно связано с ошибкой усечения на каждом шаге. [36]
Вопросы сходимости вследствие аналитических трудностей мы вынуждены изучать только для линейных уравнений. При использовании методов Эйлера или Рунге-Кутта для решения параболических уравнений более жесткие ограничения на расчетный интервал времени накладываются из условий сходимости, а не из условий, связанных с ограничением ошибок усечения. Основная трудность [ см. уравнения ( 177) - ( 180), ( 192) и ( 193) ] связана с аппроксимацией экспоненциальных членов их усеченными разложениями в ряды Тейлора. [37]
Вопросы сходимости вследствие аналитических трудностей мы вынуждены изучать только для линейных уравнений. При использовании методов Эйлера или Рунге-Кутта для решения параболических уравнений более жесткие ограничения на расчетный интервал времени накладываются из условий сходимости, а не из условий, связанных с ограничением ошибок усечения, Основная трудность [ см. уравнения ( 177) - ( 180), ( 192) и ( 193) ] связана с аппроксимацией экспоненциальных членов их усеченными разложениями в ряды Тейлора. [38]
Необходимо обратить внимание на следующее. Некоторые из них могут привести к ошибочным выводам. Ошибочность заключается в том, что в этом случае ошибка усечения очень чувствительна к остаточной ошибке, что ведет к выводу о сходимости уравнений в конечных разностях в тех случаях, когда имеется сходимость для системы дифференциальных уравнений ( см. [ 25, стр. [39]
Необходимо обратить внимание на следующее. Некоторые из них могут привести к ошибочным выводам. Ошибочность заключается в том, что в этом случае ошибка усечения очень чувствительна к остаточной ошибке, что ведет к выводу о сходимости уравнений в конечных разностях в тех случаях - когда имеется сходимость для системы дифференциальных уравнений ( см. [ 25, стр. [40]