Cтраница 2
Условия ( 13) называются условиями трансверсальности для: задачи Больца. [16]
Эта задача может быть сведена к двум задачам Коши размерности п2 путем сведения задачи Больца (1.21) к задаче Лагранжа и применения принципа максимума Понтрягина. [17]
Задачи оптимизации конструкций по меньшей мере так же сложны, как и задачи типа задачи Больца 6.2. Поэтому для проведения исследований по оптимальному проектированию требуется владеть всеми математическими средствами, которые может дать теория оптимизации. Это требование может поставить в затруднительное положение инженеров, желающих использовать современные методы теории оптимизации. [18]
Система уравнений ( 12) и система условий ( 13) позволяют определить допустимые экстремали в задаче Больца. [19]
Задача определения вектор-функции у ( х) е С 1 ( а, Ь), сообщающей функционалу ( 11) экстремальное значение, называется задачей Больца. Необходимые условия экстремума в задаче Больца устанавливаются в следующей теореме. [20]
Как и в детерминированном случае, задача управления (1.1), (1.6) при F0 называется задачей Лагранжа, при Fi 0 - задачей Май-ера и в общем случае - задачей Больца. [21]
Начальному моменту времени ( N - 1) Г для этого шага соответствует состояние Хд р которое может, принимать различные значения из возможной области изменения дс. Для задачи Больца конечное значение XN свободно, поэтому, также как для хн, необходимо при выборе решения на последнем шаге учесть все допустимые значения х Обычно рассматривают множеств о дискретных значений х, заданных с определенным шагом. [22]
Отметим, что приведенное деление задач управления по виду минимизируемого функционала весьма условно. Так, задача Больца ( а тем самым, конечно, и задача Лагранжа) легко сводится к задаче Майера. [23]
Задача определения вектор-функции у ( х) е С 1 ( а, Ь), сообщающей функционалу ( 11) экстремальное значение, называется задачей Больца. Необходимые условия экстремума в задаче Больца устанавливаются в следующей теореме. [24]
Полученные формулы позволяют поставить следующий вопрос: каким образом выбрать допустимую вариацию ЬВ, чтобы вариация функционала 6 / была минимальна. Ответ дается решением следующей задачи Больца: определить функции ЬВ ( t) и 6i / ( t), доставляющие минимум функционалу (1.21) при дифференциальных связях (1.18), краевых условиях (1.19) и условии (1.8), которому должны удовлетворять элементы матрицы В - - ЬВ. [25]
Все эти замечания относились к классической задаче Лаг-ранжа, так как она встречается также в механике и родственных вопросах. Однако с незначительными изменениями их можно применить и к так называемой задаче Больца, которая является несколько более общей, так как состоит в нахождении минимума в классе кривых С, удовлетворяющих заданным ограничениям вида (1.1) и (1.2) и подходящим граничным условиям, не для интеграла 3 ( С) от нашего лагранжиана L вдоль кривой С, а для суммы 3 ( С) ( дС), где - непрерывная функция границы кривой С. На самом деле и задача Больца является весьма частной по сравнению с задачами, упомянутыми во введении, которые тоже можно формулировать для такого же класса кривых. [26]
Рассматривается движение динамических систем, описываемых уравнениями Гамильтона, при действии обобщенных ударных сил, мгновенные ударные импульсы которых имеют потенциал. В этом случае уравнения движения определяются из условия стационарности функционала вариационной задачи Больца [127], где интегральная часть является действием по Гамильтону. Показано, что при потенциальности ударных импульсов имеет место интегральный инвариант Пуанкаре-Картана. Обсуждается применение полученных результатов к исследованию натуральных систем с разрывами обобщенных импульсов, происходящими в результате мгновенного изменения обобщенного потенциала. [27]
Этот результат мы получили, рассматривая задачу Манера, и в предположении, что левый конец траектории фиксирован. Нетрудно, однако, проверить, что теорема остается справедливой в случае произвольной задачи Больца. [28]
Заметим, что необходимые условия (6.28) - (6.32) линейны и однородны относительно множителей Я0, Я - ( л:), уа, Ичз () Поэтому можно задать значение одного, не равного нулю, скалярного множителя таким образом, чтобы остальные множители определялись однозначно. Если из необходимых условий, следует, что Я0 обращается в нуль, то задача Больца вырожденная. В этом случае можно положить X0sl, так что остальные множители определяются однозначно. [29]
В топологии понятие компактного множества заменяет понятие ограниченного множества в обычном пространстве. Так как в топологическом пространстве понятие ограниченного множества не имеет смысла, то в качестве свойства, характеризующего определяемое понятие, берут одно из наиболее существенных свойств этих множеств, а именно свойство, выражаемое классической теоремой Больца но - Вейерштрасса. [30]