Cтраница 4
В этом случае величины, характеризующие близость функций в метрике LP и близость параметров в евклидовой метрике, совпадают, и задача приближения на [ а, Ь ] функции к регрессии становится эквивалентной задаче оценивания параметров. [46]
При помощи записи ( 2) задача приближения f ( x) на отрезке [ 0, хо ] сводится к задаче приближения на меньшем отрезке [ 0, Gn ( x0) ], где Оп ( Хц) sg qnxo - За счет малой длины отрезка высокая точность приближения достигается при значительно меньшей степени аппроксимирующего многочлена. [47]
Следовательно, задача наилучшего приближения f ( x) в норме, соответствующей скалярному произведению ( f, g) i, эквивалентна задаче приближения f ( cos &) в норме, соответствующей скалярному произведению ( /, g) 2 - Точно так же существует соответствие в случае задач интерполяции и наилучшего приближения в равномерной метрике. [48]
Привести пример функции и соответствующего ей многочлена наилучшего равномерного приближения, для которых среди точек чебышевского альтернанса нет граничных точек отрезка, на котором решается задача приближения. [49]
Многообразие алгоритмов объясняется, с одной стороны, необходимостью обеспечить преподавателей достаточным набором задач для проведения занятий, а с другой стороны, желанием продемонстрировать различные подходы к решению задачи приближения функций. Алгоритмы имеют разную точность, дают разную гладкость приближающей функции, имеют разную чувствительность к погрешностям во входных данных. Самого лучшего метода приближения не существует, и выбор алгоритма зависит от конкретной задачи. [50]
В банаховом пространстве построение эффективного ( даже численного) алгоритма отыскания элемента наилучшего приближения вызывает большие трудности. Поэтому вместо задачи приближения в банаховом пространстве обычно решают ту же задачу в гильбертовом пространстве, вложенном в это банахово пространство. [51]