Cтраница 2
Второй метод Ляпунова в задаче оптимальной стабилизации. [16]
Действительно, гамильтониан, отвечающий задаче оптимальной стабилизации, имеет на нулевой поверхности уровня, как минимум, два n - мерных лагранжевых многообразия, проходящих через начало координат фазового пространства: одно 1 /, соответствующее положительно-определенной потенциальной функции, и второе 1 / -, соответствующее отрицательно-определенной функции, обеспечивающей неустойчивость начала координат синтезируемой системы. [17]
Применение второго метода Ляпунова к задачам оптимальной стабилизации. [18]
Действительно, гамильтониан, отвечающий задаче оптимальной стабилизации, имеет на нулевой поверхности уровня, как минимум, два n - мерных лагранжевых многообразия, проходящих через начало координат фазового пространства: одно L, соответствующее положительно-определенной потенциальной функции, и второе L -, соответствующее отрицательно-определенной функции, обеспечивающей неустойчивость начала координат синтезируемой системы. [19]
Задача стабилизации в этой постановке называется задачей оптимальной стабилизации, а получаемое при этом управлении - оптимальным стабилизирующим. Ниже основное внимание будет сосредоточено на задаче оптимальной стабилизации. [20]
В § § 11.3 и 11.4 рассматриваются задачи адаптивной оптимальной стабилизации для линейных управляемых систем ядерной ( зарядной) кинетики с интегральными функционалами A.M. Ляпунова и Н.Н. Красовского в детерминированном и стохастическом ( по быстродействию) вариантах. При синтезе регулируемых ядерных устройств в атомной энергетике крайне важно обеспечить надежное и точное функционирование оптимально-стабилизационных систем управления в условиях параметрической неопределенности и при наличии случайных возмущений. Материал двух последних параграфов посвящен определению точных аналитических законов управления и алгоритмов оценивания неизвестных параметров, гарантирующих обеспечение системой управления целевых условий с заданной степенью точности и на конечном промежутке времени. [21]
Основное внимание в работе уделяется точному решению задачи оптимальной стабилизации. С разных сторон ( топологической, алгебро-геометрической и аналитической) изучается одно неотрицательно-определенное решение уравнения Гамильтона-Якоби. Как было показано в трудах Н. Н. Красовского, A.M. Летова, В. М. Кун-цевича и других, такие неотрицательно-определенные решения являются функциями Ляпунова синтезируемой системы, и через их первые частные производные выражается закон оптимальной обратной связи. [22]
Свойство изолированности лагранжева многообразия функции Беллмана-Ляпунова в задаче оптимальной стабилизации / / ДАН. [23]
Основное внимание в работе уделено отысканию точного решения задачи оптимальной стабилизации и исследованию инвариантных свойств потенциальной функции. На основе этих свойств был разработан ряд методов восстановления функции Беллмана-Ляпунова и, следовательно, закона оптимальной обратной связи. Все методы являются общими, применимыми к произвольным гладким системам управления и доведены до уровня практического использования. [24]
По условию имеется конечное число лагранжевых многообразий, соответствующих задаче оптимальной стабилизации. Следовательно, каждое такое многообразие является изолированным в окрестности начала координат фазового пространства в множестве всех лагранжевых многообразий, лежащих на нулевой поверхности уровня гамильтониана и правильно проектирующихся на базовое пространство состояний. На свойстве почти изолированности функции Беллмана-Ляпунова основывается возможность ее эффективного вычисления. [25]
Для решения этой задачи используются методы сведения ее к задаче оптимальной стабилизации. [26]
По условию имеется конечное число лагранжевых многообразий, соответствующих задаче оптимальной стабилизации. Следовательно, каждое такое многообразие является изолированным в окрестности начала координат фазового пространства в множестве всех лагранжевых многообразий, лежащих на нулевой поверхности уровня гамильтониана и правильно проектирующихся на базовое пространство состояний. На свойстве почти изолированности функции Беллмана-Ляпунова основывается возможность ее эффективного вычисления. [27]
Беллмана-Ляпунова является сепаратрисой устойчивых точек гамильтоновой системы, ассоциированной с задачей оптимальной стабилизации. Выявлено важное топологическое свойство почти изолированности функции Беллмана-Ляпунова в пространстве всех решений уравнения Гамильтона-Якоби, определенных в окрестности начала координат, позволяющее эффективно восстанавливать эту функцию с помощью достаточного числа симметрии уравнения Гамильтона-Якоби. Сформулированы прикладные методы синтеза оптимальной обратной связи, такие как метод бихарактеристик восстановления лагранжева многообразия функции Беллмана-Ляпунова, метод первых интегралов и обобщенных симметрии, метод дифференцирования вдоль гамильтонова векторного поля, метод деформации алгебраического решения уравнения Гамильтона-Якоби в голономное на полу бесконечном отрезке, алгебраический метод синтеза субоптимального управления заданной структуры, метод приведения уравнения Гамильтона-Якоби к вполне интегрируемой системе внешних дифференциальных уравнений. Получена серия явных первых интегралов для систем с квадратичным гамильтонианом, определяющая уравнения лагранжева многообразия функции Беллмана-Ляпунова. Показана возможность сведения условной вариационной задачи с неголономными связями к задаче на безусловный экстремум с помощью специального подбора функционала; здесь же изложена концепция поля экстремалей и формализм метода Колесникова синтеза оптимальной обратной связи. Приведен метод дифференциальных инвариантов получения дополнительных уравнений, описывающих потенциальную функцию; даны способы вычисления дифференциальных инвариантов в некоторых частных случаях. [28]
Гамильтона-Якоби, которое имеет, вообще говоря, больше решений, чем задача оптимальной стабилизации. Поэтому, при нахождении неотрицательнозначного решения уравнения Гамильтона-Якоби, имеющего минимум в нуле, нужно проводить еще дополнительную проверку, заключающуюся в выполнении условий уравнения Беллмана, и в общем случае проверку на асимптотическую устойчивость начала координат синтезируемой системы. В случае типичной задачи оптимальной стабилизации проверку делать не надо, и кроме того, не требуется проверка асимптотической устойчивости, если подынтегральная функция ио невырождена. [29]
Функция Беллмана-Ляпунова является корнем уравнения Га-ми льтона - Якоби, поэтому решение задачи оптимальной стабилизации тесно связано с определенными объектами в фазовом пространстве. [30]