Cтраница 1
Предметные переменные и предметные постоянные ( в виде собствен, ных имен или описаний), вместе взятые, называются термами. Грамматическая функция переменных подобна функции местоимений и нарицательных имен в обычном языке, а функция предметных постоянных подобна роли имен собственных. [1]
Предметные переменные, свободные ( связанные) хотя бы в одной из формул gj, gf2, наз. [2]
Мы можем предполагатьг что вспомогательные предикатные и индивидуальные предметные переменные в различных системах имеют различные обозначения. [3]
Элементарно групповая формула 91, содержащая свободные предметные переменные, будет называться элементарно групповым отношением. Если 91 свободных предметных переменных не содержит, то 91 будет называться элементарно групповым предложением. [4]
& п, ал ] - различные предметные переменные. В каждом применении этого правила переменная an [ называется собственной переменкой рассматриваемого применения. [5]
Эта информация формально задается в виде понятий, характеризующих соответствующие предметные переменные. [6]
Заметим, что в узком исчислении предикатов разрешается связывать с помощью кванторов лишь предметные переменные. Входящие в формулу предикаты предполагаются при этом неизменными. Подобное ограничение, естественно, суживает область применений строящегося нами логического исчисления, чем и объясняется включение в его название термина узкое. В так называемом расширенном исчислении предикатов употребляются переменные предикаты и предикатные кванторы. При неограниченном употреблении предикатных кванторов возникает возможность построения внутренне противоречивых формул и появления парадоксов. Все это вызывает необходимость дальнейшего усложнения соответствующих исчислений. Не будем, однако, заниматься подробным изучением расширенного исчисления предикатов, сосредоточив свое внимание на узком исчислении предикатов. Поэтому условимся в дальнейшем под исчислением предикатов подразумевать всегда ( если не оговорено противное) именно узкое исчисление предикатов. [7]
При этом аксиомы собственно арифметики можно заменить фор - j мулами, в которых все предметные переменные связаны. [8]
У ЯАС имеется близнец, построенный по образцу таких традиционных логико-арифметических языков, в которых фигурируют предметные переменные ( для натуральных чисел) двух родов: связанные предметные переменные и свободные предметные переменные ( си, например, [3], § 3); в языках этого типа определение понятия формула сложнее, чем в языках первого типа. В разделе 3.6 монографии РТЧ описывается ( к сожале-нию, без достаточно пунктуальных определений), по-видимому, именно близнец ЯАС ( говоря точнее, близнец того расширения ЯАС, о котором говорится ниже в подстрочном примечании на стр. В этШ вступительной ста [ тьефигурируют лишь логико-арифметические языки первого типа. [9]
С каждым Ьа сопоставим символ ха и обозначим через Т множество всех элементарных формул, все свободные предметные переменные которых содержатся в множестве символов ха. [10]
Заметим, что во всех рассмотренных примерах мы имели дело с высказываниями, а потому в полученных формулах все предметные переменные связаны. [11]
Если формула ЗД выводима из формулы 91 в ограни ченной арифметике и при этом выводе не производится ], подстановка в свободные предметные переменные и яе-1 ременные предикаты, входящие в формулу 91, и не производится связывания квантором таких переменных, то формула 91 - 23 выводима в ограниченной арифметике. [12]
Каждый элементарный индивидуальный предикат имеет такой же вид, только ti и г2 здесь - термы, из которых по крайней мере один содержит предметные переменные. Если мы в элементарном индивидуальном предикате заменим предметные переменные цифрами, то получим элементарное высказывание указанного типа. Если ti и г2 - рекурсивные константы, то, как мы показали в главе V ( § 8), им могут быть однозначным и вполне финитным образом поставлены в соответствие цифры. [13]
У ЯАС имеется близнец, построенный по образцу таких традиционных логико-арифметических языков, в которых фигурируют предметные переменные ( для натуральных чисел) двух родов: связанные предметные переменные и свободные предметные переменные ( си, например, [3], § 3); в языках этого типа определение понятия формула сложнее, чем в языках первого типа. В разделе 3.6 монографии РТЧ описывается ( к сожале-нию, без достаточно пунктуальных определений), по-видимому, именно близнец ЯАС ( говоря точнее, близнец того расширения ЯАС, о котором говорится ниже в подстрочном примечании на стр. В этШ вступительной ста [ тьефигурируют лишь логико-арифметические языки первого типа. [14]
Высказывания и выражения вида А ( со), F ( Ь, с), где A, F - предикаты, а со, Ь, с - предметные переменные или константы, называются элементарными, или атомарными, формулами. Эти формулы ( как высказывания, так и предикаты) всегда принимают лишь два значения: истинно или ложно, поэтому их можно связывать с помощью логических операций, образуя новые формулы. [15]