Cтраница 2
Особенностью исчисления предикатов является прежде всего то, что, наряду с переменными высказываниями, принимающими лишь два возможных значения ( истина и ложь), вводятся в рассмотрение так называемые предметные переменные, пробегающие некоторую, вообще говоря, бесконечную область значений, которую принято называть предметной областью. Составляющие эту область значения называются обычно предметами, или объектами. [16]
Термин индивидуальный предикат мы до сих пор употребляли только для элементарных выражений Р ( х), Q (, У) У х У, Расширим теперь его смысл и будем называть индивидуальным предикатом каждую формулу арифметики, которая содержит предметные переменные и не содержит переменных предикатов. [17]
Для построения формализованной теории булево-значных алгебр используется язык 1 - й ступени соответствующей сигнатуры со следующей интерпретацией. Предметные переменные пробегают непустое множество А, а значением га-арного символа операции / считается некоторая л-арная главная операция на множестве NB ( A), где В - фиксированная полная булева алгебра ( Салий В. Н. / / Мат. [18]
Напомним, исчисление предикатов первого порядка называется чистым, если в нем нет функциональных символов и предметных констант. Кванторы связывают только предметные переменные. [19]
При заданной интерпретации предметные переменные мыслятся пробегающими область D этой интерпретации, а логическим связкам - i, &, V, -, - и кванторам придается их обычный смысл. [20]
В доказательстве этой теоремы мы можем ограничиться рассмотрением нормальных формул, так как нормальная форма любой формулы одновременно с ней выполнима или невыполнима на каждой области. Рассмотрим произвольную нормальную формулу, все предметные переменные которой связаны. Она может содержать символы индивидуальных предметов. [21]
Каждый элементарный индивидуальный предикат имеет такой же вид, только ti и г2 здесь - термы, из которых по крайней мере один содержит предметные переменные. Если мы в элементарном индивидуальном предикате заменим предметные переменные цифрами, то получим элементарное высказывание указанного типа. Если ti и г2 - рекурсивные константы, то, как мы показали в главе V ( § 8), им могут быть однозначным и вполне финитным образом поставлены в соответствие цифры. [22]
Аналогично могут быть образованы высказывательные функции, зависящие как от предметных, так и от булевых переменных. Например, пусть xlt х % и ха - предметные переменные высказывательной функции А ( %, х2, х3), а х4 - булева переменная. [23]
Сначала преобразуем F в опровержение F, заданное в виде дерева. В F каждый дизъюнкт участвует только один раз в получении резольвенты. Устраним в F все предметные переменные, оставив только 0-местный функциональный знак а. Для этого будем ко всем дизъюнктам F последовательно, начиная от Щ и кончая исходными дизъюнктами, применять унифицирующие подстановки, участвовавшие в получении резольвент. В итоге получим опровержение F некоторого множества Я дизъюнктов из Я. [24]
В самом деле, какова бы ни была формула 51, мы можем, произведя над ней преобразования, указанные в § 9, привести ее к виду, в котором все кванторы предшествуют остальным символам формулы, при этом состав ее предикатов и предметных переменных не изменяется. Если в 51 есть свободные предметные переменные, то мы можем связать их квантором всеобщности. [25]
Все отдельно взятые предикаты, в которых все места замещены предметными переменными или предметными постоянными из соответствующих предметных областей, являются формулами. Логическая константа считается нульместным предикатом. При этом все входящие в предикат предметные переменные считаются свободными, связанных переменных нет. [26]
За такими формулами мы сохраним название переменного предиката. Формулы, определенные в 1 и 2, мы будем называть элементарными формулами. Для дальнейшего определения формулы нам необходимо различать входящие в формулу предметные переменные. [27]
Следующим по важности формальным языком является язык исчисления предикатов 2 - й ступени. Формулы в этом языке составляются из тех же логических символов &, Д ], -, V, 3, предметных и предикатных переменных, что и в узком исчислении. Отличие состоит лишь в том, что в формулах 2 - й ступени кванторные символы V, 3 могут связывать не только предметные переменные, но и предикатные переменные. [28]
Во-первых, нужно очень внимательно следить, чтобы в полученной формуле не было лишних свободных переменных ( свободными должны быть лишь те предметные переменные, про которые делается утверждение. [29]
Объекты и понятия, которыми приходится оперировать при решении той или иной интеллектуальной задачи, относятся к некоторому множеству Q, называемому предметной областью. Переменные, принимающие значения из Q, называются предметными переменными. Предметные переменные, константы, а также функции от них называются термами. [30]