Cтраница 3
При асимптотическом интегрировании уравнений с переменными коэффициентами характерной является ситуация, когда в области интегрирования появляются переходные линии ( в акустике они называются каустиками), которые делят эту область на части с качественно различным поведением решения. В задачах устойчивости оболочек переходные линии выделяют часть срединной поверхности, на которой расположены вмятины при потере устойчивости. [31]
Из табл. 8.5.4 видно, что неучет поперечных сдвигов приводит к завышению, а моментности основного состояния и докритических деформаций - к занижению расчетных значений критических давлений. Столь значительная погрешность свидетельствует о принципиальной необходимости учета поперечных сдвигов в задачах устойчивости оболочек с существенно различными жесткостями слоев. [32]
Задачи устойчивости оболочек при односторонних ограничениях на прогиб ( определение особых и предельных точек иа траекториях нагруже-ния) изучены в главе V. Здесь сформулирована концепция потерн устойчивости процесса иагружения упругих оболочек, дана более близкая к реальной постановка задачи устойчивости оболочек под действием осадки грунта. [33]
Решение задач сводится к отысканию собственных значений и выбору среди них тех, которые соответствуют переходу от устойчивости к неустойчивости. Среди них важное место занимают вариационные методы: метод Рейли - Ритца ( 1873, 1889, 1908 гг.), метод Бубнова ( 1911 г.) и др. Применение этих методов широко освещено в книгах С. П. Тимошенко ( 1946), П. Ф. Папковича ( 1939), Л. С. Лейбензона ( 1945), Я. А. Пратусевича ( 1948) и др. В задачах устойчивости оболочек потеря устойчивости, как правило, сопровождается переходом через предельные точки; кроме того, послекритические состояния оболочек представляют определенный технический интерес. Поэтому в теории устойчивости оболочек широко используются нелинейные уравнения и соответствующие энергетические функционалы. Вариационные методы служат здесь почти единственным средством получения конкретных численных результатов ( X. Многие задачи решены при помощи процедуры П. Ф. Папковича ( 1939), согласно которой часть уравнений удовлетворяется точно, а часть - в вариационном смысле. [34]
Метод исключения по Гауссу в обычном варианте широко используется при решении систем алгебраических уравнений. К задачам устойчивости оболочек он был применен в работе [6.24] Альмротом. Ниже излагается метод матричного исключения по Гауссу [6.13], который приводит к более компактной записи определителя ( три диагонали вместо девяти) и простым рекуррентным формулам. [35]
Первые теоретические решения задачи по определению критической нагрузки для сжатой в осевом направлении тонкостенной цилиндрической оболочки ( рис. 6.20, а) были даны Лорен-црм и С. П. Тимошенко в начале века. Они считали, что оболочка имеет идеально правильную цилиндрическую форму, а ее начальное напряженное состояние является безмоментным и однородным, и определяли наименьшую нагрузку, при которой наряду с начальным безмоментным состоянием появлялись смежные изгибные состояния равновесия оболочки. Такую постановку задачи устойчивости оболочек называют классической. [36]
Первые теоретические решения задачи по определению критической нагрузки для сжатой в осевом направлении тонкостенной цилиндрической оболочки ( рис. 6.20, а) были даны Лорен-цом и С. П. Тимошенко в начале века. Они считали, что оболочка имеет идеально правильную цилиндрическую форму, а ее начальное напряженное состояние является безмоментным и однородным, и определяли наименьшую нагрузку, при которой наряду с начальным безмоментным состоянием появлялись смежные изгибные состояния равновесия оболочки. Такую постановку задачи устойчивости оболочек называют классической. [37]
Из методических соображений, прежде чем перейти к исследованию устойчивости цилиндрической оболочки, детально рассмотрена родственная задача устойчивости упругого кругового кольца. Затем дан вывод основного линеаризованного уравнения круговой цилиндрической оболочки, находящейся в неоднородном безмоментном докритическом состоянии, и получено выражение для подсчета изменения полной потенциальной энергии такой оболочки. Приведены решения только двух задач устойчивости оболочки: при равномерном внешнем давлении и равномерном осевом сжатии. [38]
Используемый здесь метод аналогичен методу исследования свободных низкочастотных колебаний оболочек ( см. [ 35, гл. Различие заключается в том, что в случае колебаний в знаменателе функционала ( 4) стоит величина, пропорциональная кинетической энергии оболочки. Кроме того, решение задач устойчивости плохо закрепленных оболочек имеет меньшее прикладное значение, чем решение задач колебаний. [39]
Они существенным образом основаны на теории прощелкивания стержней, развитой С. П. Тимошенко ( 1925, 1935 гг.), К. Б. Бицено ( 1929 г.), К. Руководящая идея этих исследований состояла в том, что для задач устойчивости оболочек типичен факт существования устойчивых форм равновесия, отличных от невозмущенной формы, при значениях параметра нагрузки, меньших классического критического значения. Большое число работ было посвящено отысканию нижних критических усилий для различных типов оболочек и граничных условий и типов нагружения. [40]
Удлинение 8ц е2, Y, углы поворота нормали О Ф2 и изменения кривизн х1 ( х2, х12, связанные с переходом оболочки в новое со-сотяние равновесия, выражаются через бифуркационные перемещения и, v, w с помощью линейных зависимостей, приведенных в § 6.3. Дальнейшее решение можно вести из условия б ( A3) 0 либо из условия А. На основе того и другого условия можно строить как точные, так и приближенные решения задач устойчивости оболочек. [41]
Рассмотрим задачу об устойчивости сжатого стержня, окруженного упругой достаточно податливой средой. С подобной задачей встречаются, например, при расчете обсадных труб нефтяных скважин: длинная труба, сжимаемая собственным весом, окружена грунтом и при выпучивании трубы со стороны грунта возникает распределенная реакция. Однако основной интерес этой задачи для нас состоит в другом, дифференциальное уравнение подобного типа встречается, например, в задачах устойчивости оболочек, и качественный характер явления потери устойчивости в известном смысле одинаков. [42]
Тогда получается формула Грас-гофа - Бресса. Для оболочек средней длины, удовлетворяющих неравенствам х 15, со С; 0 1 16, эта формула переходит в формулу Саутуэлла - Папко-вича. Формулами (1.23) исчерпывается решение задачи устойчивости свободно опертой оболочки. [43]
Разработанный здесь метод численного определения матричной функции Грина обладает рядом достоинств, позволяющих рекомендовать его к широкому практическому использованию. В нем эффективно преодолевается сильная численная неустойчивость дифференциальных уравнений неклассической теории слоистых оболочек; не вызывает никаких затруднений также и переменность коэффициентов этих уравнений. Сам метод матричной функции Грина как метод решения краевых задач механики оболочек имеет известные преимущества перед другими. Так, в нем не возникает проблем, связанных с построением ортогонального координатного базиса, как в методе Бубнова - Галеркина, или с большой размерностью, а часто и плохой обусловленностью алгебраической системы, как в методе конечных разностей. В задачах устойчивости оболочек использование данного метода позволяет легко и естественно учесть такие факторы, как до-критические деформации, неоднородность распределения докритических усилий в отсчетной поверхности оболочки, краевые условия задачи. В то же время число точек разбиения отрезка интегрирования, необходимое для аппроксимации интегрального оператора, относительно невелико, что приводит к алгебраической задаче невысокой размерности. [44]
Следует отметить, что задачи устойчивости оболочек при неосесимметричном нагружении находятся в первой стадии изучения. Имеющиеся результаты недостаточно обоснованы и проанализированы. Вероятно, при решении задач с сильной изменяемостью неосесимметричного напряженного состояния придется обратиться к решению нелинейных задач. Это касается и задач устойчивости оболочек с неосесимметричными начальными прогибами. [45]