Cтраница 3
В частности, если / - гладкая функция на многообразии М и а6 - такие числа, что множество / - 1 [ а, Ь ] компактно и содержит единственную критич. W; V, V) существует Морса функция, обладающая единственной критич. Я, причем любой бордизм ( W; V, У), на к-ром существует такого рода функция Морса, получается этим способом. [31]
Позднее было замечено, что объекты совершенно различной геометрич. Такие объекты были названы обобщенными, или экстраординарными теориями гомологии; они использованы для усовершенствования вычислительных методов А. Важнейшим примером является К-теория, построенная из линейных ( векторных) косых произведений над изучаемым пространством вместо его циклов или дифференциальных форм, из к-рых строились обычные группы гомологии. Другой важный пример - теория кобордизмов ( бордизмов), где вместо любых циклов берутся только отображения замкнутых многообразий в изучаемое пространство, а вместо любых пленок - только отображения многообразий с краем какого-то класса. [32]
Большинство последних результатов в этом направлении выпало из нашего рассмотрения в связи с тем, что в этой книге мы не предъявляем высоких требований к предварительным знаниям читателя. Ясно также, что многие из полученных результатов за время публикации устареют, и по этой причине мы их не включили. Значительная часть теории гладких действий на многообразиях охвачена далеко продвинутой теорией бордизмов действий групп. [33]
Ill); развитие теории пучков, расслоенных пространств и спектральных последовательностей привело в 50 - е годы к результатам А. III); развитие дифференциальной топологии в 60 - е годы, приведшее к фундаментальным результатам по классификации гладких многообразий, позволило в ряде случаев получить методы классификации гладких действий групп Ли ( см. гл. V и VI); развитие экстраординарных теорий когомологий привело в 60 - е годы к возникновению экстраординарных эквива-риантных теорий когомологий, которые дали эффективные методы изучения множеств неподвижных точек действий циклических групп и торов. В первую очередь здесь необходимо выделить результаты Коннера и Флойда [8] по применению теории бордизмов, а также Атья и Сегала [1, 2] по применению / ( - теории ( см. гл. [34]