Cтраница 1
Борель, судя по первой из цитат, казалось бы, ближе к формульному представлению о законе ( рекуррентные соотношения тоже часто называют формулами. Однако в следующем предложении он фактически переходит почти на точку зрения Таннери: Мы будем говорить, что множество каким-либо способом задано, если известно, как определить все его элементы один за другим, не исключая ни одного и не повторяя никакой из них несколько раз ( с. [1]
Борель ( 1871 - 1956) был исключительно разносторонен и продуктивен. Он оставил после себя огромное научное наследие, состоящее из многочисленных оригинальных работ, монографий и учебников, относящихся к различным областям математики и ее применениям к физике и другим разделам естествознания. Ему принадлежат также работы по философским вопросам математики и большое число популярных статей и книг. [2]
Борель называет ее теоремой Пуанкаре ( с. Вольтерры, где она доказана независимо; можно отметить, что ту же теорему одновременно установил и Виванти. [3]
Борель в 1898 г. Указанной Серпинским теоремы а) 31 явно у Бореляне содержится, но она подразумевается в той части определения меры, где он требует, чтобы счетная сумма непересекающихся 5-множеств имела меру, равную сумме мер слагаемых [ 2, с. Формально к Борелю здесь нельзя придраться, поскольку последнее он попросту включает в само определение меры. Однако, как видно из его слов, приведенных выше ( с. Возможность же доказать эту непротиворечивость в случае своего определения меры Борель связывал с теоремой о конечном покрытии, которая была доказана у него с использованием аксиомы выбора. И если бы он провел указанное им рассуждение относительно непротиворечивости, он столкнулся бы с этой аксиомой. [4]
Борель, такое тождество невозможно, если Я и / С отличны от постоянных. [5]
Борель указывает здесь на то, что воспользоваться азартными играми для определения или уточнения понятий теории вероятностей, а затем использовать зти понятия для исследования таких игр, не составляет порочного круга, ( Ред. [6]
Борель и Мур дали теоретико-пучковую конструкцию групп гомологии Н Х для любого локально компактного пространства, из которой также можно вывести базисные свойства. [7]
Борель [1] доказал, что голоморфное отображение комплексной прямой С в комплексное проективное пространство Рп вырождается, если образ выпускает п 2 комплексные гиперплоскости в общем положении. [8]
Борель здесь выражается недостаточно определенно. Сказанному нужно придавать такой смысл: вероятностные заключения о течении случайных событий существенно зависят от тех условий, в которых события протекают. Для иллюстрации этого положения рассматривается пример с двумя колодами карт. Выводы из гипотезы, что в колоде 52 карты, могут оказаться иными для колоды, состоящей из 32 карт. [9]
Борель сформулировал здесь следующую важную теорему: если X и У любым способом связанные между собой случайные величины, то математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых М ( X - - Y) MX - - MY. Здесь М означает символ математического ожидания стоящей за ним случайной величины. [10]
Борель указывает здесь только примерный порядок убывания вероятности. [11]
Борель высказал убеждение в том, что понятие аналитической функции, как его дал Всйсрштрасс, еще сильно привязано к частному классу аналитических выражений, именно - рядам Тейлора, и что если за элемент функции взять не ряд Тейлора К ( х - - а), а звездное разложение Миттаг-Леффлера, то по лучам звезды Миттаг-Лсффлера можно проскользнуть через полюсы аналитического выражения, всюду плотно лежащие на особой линии, во внешнее пространство, если звездное разложение Мпттаг-Леффлсра было, составлено для внутренней точки кривой. [12]
Борель, которому принадлежат эти соображения [5, 6], добавил следующее интересное замечание. До сих пор мы предполагали, что неопределенность содержится только в начальных данных, в то время как дифференциальные уравнения движения точно известны и разрешимы. Это означает не только то, что нам точно известны законы взаимодействия между любыми двумя частицами, но также и то, что мы включаем в дифференциальные уравнения движения силы, действующие на частицы нашей системы со стороны любых других масс Вселенной и способные существенно изменить движение. [13]
Борель несколько упрощает изложение, поэтому имеет смысл напомнить обозначения и формулу, используемые в термодинамике. [14]
Борель высказал также идею использования доминирования стратегий: если ам 0 при всех значениях / &, то стратегию Ct можно считать плохой и исключить из рассмотрения. [15]