Cтраница 3
Далее предполагается, что W1 ( X) 5 0; в противном случае однородная краевая задача у - р ( х) у О, у ( 0) у ( Х) 0 имеет ненулевое решение Wl ( x), а следовательно, неоднородная краевая задача (1.1), (1.2) или не имеет решения, или имеет неединственное решение. [31]
Основная идея метода Бубнова - Галеркина [17] состоит в том, что приближенное решение однородной краевой задачи ищется в виде линейной суперпозиции конечного числа некоторых базисных функций, удовлетворяющих граничным условиям. Коэффициенты разложения определяются из интегральных условий, выражающих ортогональность невязки к каждой базисной функции. Таким образом, задача сводится к решению системы алгебраических уравнений для коэффициентов разложения. В качестве базиса обычно выбираются первые функции какой-либо полной системы. Успех в применении метода определяется выбором базисных функций и числом этих функций, входящих в разложение. При удачном выборе базиса достаточно точные результаты получаются уже при аппроксимации решения сравнительно небольшим числом функций. [32]
Далее предполагается, что Wi ( X) / f 0; в противном случае однородная краевая задача у - р ( х) у 0, у ( 0) у ( Х) 0 имеет ненулевое решение W ( x) а, следовательно, неоднородная краевая задача (1.1) - (1.2) или не имеет решения, или имеет неединственное решение. [33]
Если индекс комплексной функции a ( s) ib ( s) x0, то однородная краевая задача Гильберта (29.1) и неоднородная (29.8) безусловно разрешимы. Однородная задача имеет 2х 1 линейно независимых решений, линейная комбинация которых входит слагаемым в общее решение. [34]
На практике часто встречается случай, когда интегральное уравнение с симметричным ядром является решением некоторой самосопряженной однородной краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения. [35]
На практике часто встречается случай, когда интегральное уравн яи с симметричным ядром является решением некоторой самосопряженной однородной краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения. В таких случаях нахождение характеристических чисел и собственных функций ядра сводится к решению указанной краевой задачи. [36]
На основании общих свойств линейных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений из соотношений (4.20) следует, что однородная краевая задача имеет только единственное решение и, следовательно, неоднородная краевая задача всегда разрешима. [37]
Для них получены явные интегральные представления, в которые входят исходные краевые условия и некоторые специальные решения вспомогательной однородной краевой задачи. Они определяются однозначно главными членами своей асимптотики и так же, как функции (8.17), имеют особенность в нерегулярной точке границы. Реализация этого метода представляется особенно эффективной тогда, когда требуется для одной и той же области решить совокупность однотипных краевых задач, поскольку потребуется лишь один раз решать вспомогательную задачу. В [162] приведены примеры, иллюстрирующие применение метода в задачах теории упругости. [38]
Для них получены явные интегральные представления, в которые входят исходные краевые условия и некоторые специальные решения вспомогательной однородной краевой задачи. [39]
Для заданных симметричных ядер найти характеристические числа и соответствующие им собственные функции, сводя интегральное уравнение к однородной краевой задаче для обыкновенного дифференциального уравнения. [40]
Если индекс комплексной функции a ( s) - - ib ( s) х 0, то однородная краевая задача Гильберта (29.1) а неоднородная (29.8) безусловно разрешимы. Однородная задача имеет 2ъ - - 1 линейно независимых решений, линейная комбинация которых входит слагаемым в общее решение. [41]
В математической физике краевая задача, в которой искомая функция должна обратиться в нуль на границе области, носит название однородной краевой задачи Дирихле. [42]
При т п отсюда вытекает следующий важный факт: или данная неоднородная краевая задача имеет в точности одно решение, или соответствующая однородная краевая задача имеет по крайней мере одно нетривиальное решение. [43]
Подставляем общее решение (3.38) в систему уравнений ij (3.36) и граничные условия; после сокращения общего множителя еКг получаем на плоскости ху однородную краевую задачу в области 5 для функций Fih ( x y), где 5 - поперечное сечение цилиндра. Решение этой задачи существует только при некоторых ( собственных) значениях К и определяется, очевидно, с точностью до произвольных множителей. Таким образом, мы приходим к типичной задаче на собственные значения. [44]
Равенство нулю определителя D ( К, п) системы линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных значений искомых функций на левом конце интервала интегрирования означает наличие нетривиального решения однородной краевой задачи устойчивости. [45]