Cтраница 3
В ряде случаев, когда метод мажорант неприменим, оценку погрешности приближенного решения удается получить, используя так называемую сеточную функцию Грина. Проводимые ниже построения функции Грина сеточной краевой задачи (1.3) - (1.4) кроме всего прочего интересны своей аналогией со случаем дифференциальной краевой задачи. [31]
В ряде случаев, когда метод мажорант неприменим, оценку погрешности приближенного решения можно получить, используя так называемую сеточную функцию Грина. Проводимые ниже построения функции Грина сеточной краевой задачи (1.3), (1.4) кроме всего прочего интересны своей аналогией со случаем дифференциальной краевой задачи. [32]
Хотя указанные методы и различаются подходом к построению приближенного решения - в первом из них аппроксимируются ( см. А ппроксимация дифференциальной краевой задачи разностной) уравнение и граничные ( краевые) условия, а во втором - само искомое решение - однако получающиеся для отыскания приближенного решения алгебраич. [33]
Замену дифференциальных задач их разностными аналогами, начиная с работ [1], [2], [4], иногда удается использовать для самого доказательства существования решения дифференциальной задачи по следующей схеме. Устанавливается компактность зависящего от h семейства решений и /, разностного аналога дифференциальной краевой задачи и доказывается, что пределом сходящейся при й - - 0 подпоследовательности u / ft является решение и дифференциальной краевой задачи. [34]
Тогда дифференциальные уравнения в частных производных преобразуются в алгебраические уравнения. В этом заключается суть алгебраизации дифференциальной краевой задачи. [35]
В рассмотренных примерах для получения разностных схем мы заменяли производные в дифференциальном уравнении разностными отношениями. Этот прием универсален и позволяет построить для любой дифференциальной краевой задачи, имеющей достаточно гладкое решение и ( х), разностную схему с любым наперед заданным порядком аппроксимации. [36]
Интегральная форма записи законов сохранения имеет смысл и для разрывных решений, так как разрывные функции можно интегрировать. Однако теряется возможность перейти к равносильной дифференциальной постановке задачи, так как разрывные функции нельзя дифференцировать. Вместе с тем теряются удобства, которыми мы пользовались при исследовании свойств решений дифференциальных краевых задач и при построении разностных схем. Поэтому прежде чем переходить к построению алгоритмов вычисления разрывных решений задач, сформулированных в терминах интегральных законов сохранения, полезно так обобщить понятие решения дифференциальной краевой задачи, чтобы она сохраняла смысл и оставалась равносильной исходному интегральному закону сохранения даже в случае разрывных решений. [37]
Все рассмотренные нами ранее разностные схемы для решения уравнений теплопроводности являются реализациями метода конечных разностей. Таким образом, в методе конечных разностей отправной точкой для получения приближенного решения является дифференциальная краевая задача. [38]
Мы доказали теорему о том, что если разностная краевая задача аппроксимирует дифференциальную задачу и устойчива, то при измельчении сетки решение разностной задачи сходится к решению дифференциальной задачи. В этой теореме содержится указание на способы построения сходящихся разностных схем для численного решения дифференциальных краевых задач: надо строить аппроксимирующие разностные схемы и выбирать среди них устойчивые. [39]
Точные решения дифференциальных краевых задач удается получить лишь для немногих частных случаев. Проектирование технических объектов на микроуровне осуществляют на основе приближенных математических моделей, получаемых путем аппроксимации исходных моделей. Так же поступают и при решении большинства исследовательских задач. Аппроксимация осуществляется посредством дискретизации и алгебраизации дифференциальной краевой задачи. [40]
Интегральная форма записи законов сохранения имеет смысл и для разрывных решений, так как разрывные функции можно интегрировать. Однако теряется возможность перейти к равносильной дифференциальной постановке задачи, так как разрывные функции нельзя дифференцировать. Вместе с тем теряются удобства, которыми мы пользовались при исследовании свойств решений дифференциальных краевых задач и при построении разностных схем. Поэтому прежде чем переходить к построению алгоритмов вычисления разрывных решений задач, сформулированных в терминах интегральных законов сохранения, полезно так обобщить понятие решения дифференциальной краевой задачи, чтобы она сохраняла смысл и оставалась равносильной исходному интегральному закону сохранения даже в случае разрывных решений. [41]