Cтраница 2
Условия ( 3) гарантируют существование единственного решения разностной краевой задачи ( 1), ( 2) ( в чем мы убедимся ниже) и позволяют найти это решение специальным экономичным методом, называемым методом прогонки. [16]
Метод Фурье в то же время устанавливает, что разностная краевая задача имеет решение при произвольных начальных значениях. Если такая система обладает решением для произвольной начальной функции U ( Qh, 0) / ( е / 0, то ее определитель отличен от нуля и решение единственно. [17]
Здесь v ( k) vh - сеточные собственные функции разностной краевой задачи: они удовлетворяют уравнению qv Sv и граничным условиям задачи. [18]
Свойство устойчивости можно трактовать как равномерную относительно h чувствительность решения разностной краевой задачи ( 2) к возмущениям е правой части. [19]
В действительности наше определение устойчивости относится, конечно, к разностным краевым задачам с дополнительными граничными или начальными условиями, а не только к одним лишь разностным уравнениям. Изменения, которые необходимо сделать в более простом случае задачи на всей оси - со х со, очевидны. [20]
Много хлопот причиняла математикам неустойчивость - явление, часто возникающее при решении разностных краевых задач. Малые изменения в исходных данных задачи должны приводить к малым изменения решения. Только схемы, удовлетворяющие этому требованию, можно применять в реальных вычислениях, в противном случае на результатах счета сильно скажутся ошибки округлений чисел. [21]
Таким образом, краевая задача ( 1), ( 2) есть линейная разностная краевая задача общего вида. [22]
Задача ( 12), ( 13) тоже распадается на N - 1 трехточечных разностных краевых задач, отвечающих различным фиксированным k, I k N-1. Каждая такая задача решается методом прогонки. На решение задач ( 12), ( 13) при всех k расходуется 0 ( N2) арифметических действий. [23]
Метод разностных потенциалов был предложен автором в его докторской диссертации в 1969 г. как аппарат численного решения разностных краевых задач. [24]
Задача ( 1), ( 2) в целом называется краевой задачей для трехточечного разностного уравнения или просто разностной краевой задачей. [25]
Выше было установлено, что указанная в теореме разностная схема ( 12), ( 13), в более подробной записи имеющая вид ( 14), ( 15), при условии ( 16) однозначно разрешима. Следовательно, разностная краевая задача ( 20), ( 21), отвечающая рассматриваемой разностной схеме ( 12), ( 13), тоже при условии ( 16) однозначно разрешима. Действительно, разностная схема ( 12), ( 13) и соответствующая краевая задача ( 20), ( 21) являются системами линейных алгебраических уравнений, отличающимися только свободными членами. [26]
Однако второму краевому условию удовлетворить не удается. Следовательно, рассматриваемая разностная краевая задача является неразрешимой. [27]
Простейший прием построения разностных краевых задач, аппроксимирующих дифференциальные, состоит в замене производных соответствующими разностными отношениями. [28]
В § 1, 3 изучается разностная схема для уравнения Пуассона в двумерной прямоугольной области. В § 1 формулируется разностная краевая задача и вводится каноническая форма записи разностных схем, удобная для применения принципа максимума. Такая каноническая форма пригодна не только для разностного уравнения Пуассона, но и вообще для любого линейного разностного уравнения. В § 2 излагаются основные теоремы принципа максимума для разностных схем, записанных в канонической форме. В § 3 принцип максимума применяется к исследованию сходимости разностной аппроксимации задачи Дирихле. В § 4, 5 приводятся примеры применения принципа максимума к другим стационарным и нестационарным разностным задачам. [29]
При этом дифференциальное уравнение заменяется системой алгебраических уравнений ( разностными уравнениями), начальные и краевые условия тоже заменяются разностными начальными и краевыми условиями. В результате мы получаем разностную краевую задачу, т.е. систе. Решение разностной задачи есть сеточная функция, определенная в узлах сетки, т.е. на дискретном множестве точек. [30]