Cтраница 3
Следовательно, предложенный здесь метод Фурье неэкономичен, он требует 0 ( N2) действий вместо 0 ( N) действий в методе прогонки. Пользоваться таким методом для решения одномерных разностных краевых задач нецелесообразно. [31]
Мы доказали теорему о том, что если разностная краевая задача аппроксимирует дифференциальную задачу и устойчива, то при измельчении сетки решение разностной задачи сходится к решению дифференциальной задачи. В этой теореме содержится указание на способы построения сходящихся разностных схем для численного решения дифференциальных краевых задач: надо строить аппроксимирующие разностные схемы и выбирать среди них устойчивые. [32]
Метод будет эффективным лишь при условии, что разностная схема разрешима и ее решение при увеличении числа узлов сетки приближается к точному решению исходной задачи. Доказательство этого факта, наряду с построением эффективного алгоритма решения разностной краевой задачи, требует использования самых современных методов функционального анализа и вычислительной математики. Однако для многих важных классов задач математической физики само существование решения остается неясным. Математики решают и такие задачи, при этом используются полуэмпирические соображения, численные эксперименты на задачах, для которых известно точное решение, просто интуиция. [33]
В многомерном случае не существует столь же удобного и экономичного способа решения разностных уравнений, как метод прогонки. Поэтому возникает необходимость в развитии методов, специально предназначенных для решения многомерных разностных краевых задач. [34]
Отметим лишь, что если h удовлетворяет неравенству ( 16), то разностная краевая задача ( 14), ( 15) имеет единственное решение, для нахождения которого можно применить метод прогонки. Это гарантируется условиями (22.3), которые для коэффициентов разностного уравнения ( 14), как было проверено выше, выполнены. [35]
Как мы только что видели, попеременно-треугольный итерационный метод с постоянным параметром т при решении разностных краевых задач требует О ( ft - 1) итераций для достижения заданной точности. [36]
Поясним еще раз понятие устойчивости. Очевидно, что разностная краевая задача ( или задача с начальными данными) корректна и устойчива, если решение разностной краевой задачи незначительно изменяется при малом изменении начальных и граничных условий и правых частей, связанном со случайными погрешностями. В противном случае разностная краевая задача неустойчива. Важно отметить, что для неустойчивых разностных схем измельчение сетки не приводит к устойчивости, поскольку любые малые возмущения решения со временем неограниченно возрастают. [37]
Поясним еще раз понятие устойчивости. Очевидно, что разностная краевая задача ( или задача с начальными данными) корректна и устойчива, если решение разностной краевой задачи незначительно изменяется при малом изменении начальных и граничных условий и правых частей, связанном со случайными погрешностями. В противном случае разностная краевая задача неустойчива. Важно отметить, что для неустойчивых разностных схем измельчение сетки не приводит к устойчивости, поскольку любые малые возмущения решения со временем неограниченно возрастают. [38]
Поясним еще раз понятие устойчивости. Очевидно, что разностная краевая задача ( или задача с начальными данными) корректна и устойчива, если решение разностной краевой задачи незначительно изменяется при малом изменении начальных и граничных условий и правых частей, связанном со случайными погрешностями. В противном случае разностная краевая задача неустойчива. Важно отметить, что для неустойчивых разностных схем измельчение сетки не приводит к устойчивости, поскольку любые малые возмущения решения со временем неограниченно возрастают. [39]
Метод разделения переменных успешно применяется для построения решений разностных схем, главным образом с постоянными коэффициентами, и для исследования сходимости. В основе метода лежит разложение решения разностной задачи по системе ее собственных функций. Требование полноты системы собственных функций сильно сужает класс рассматриваемых задач, и мы ограничиваемся в этой главе лишь задачами с самосопряженными операторами типа разностного оператора Лапласа. В § J, 2 изучаются спектральные свойства разностных операторов, далее в § 3 методом разделения переменных проводится исследование устойчивости и сходимости разностных схем для уравнения теплопроводности. В остальных параграфах рассматриваются экономичные методы нахождения решений разностных краевых задач с постоянными коэффициентами, основанные на методе разделения переменных. [40]
Эти понятия имеют смысл для любых функциональных уравнений. Главные из них - разнообразие сеток и способов аппроксимации, неустойчивость большинства взятых наудачу аппроксимирующих схем, сложность исследований устойчивости и трудности вычисления решений разностных краевых задач, требующие специальных усилий для их преодоления. [41]
Суть метода состоит в следующем. Область непрерывного изменения аргументов ( например, х и t ] заменяется дискретным конечным множеством точек ( узлов), называемых сеткой. Вместо функций непрерывного аргумента рассматриваются функции дискретного аргумента, определенные в узлах сетки и называемые сеточными функциями. Производные, входящие в дифференциальное уравнение, заменяются разностными отношениями. В итоге исходное дифференциальное уравнение заменяется системой алгебраических уравнений. Начальные и граничные условия также заменяются разностными условиями для сеточной функции. Полученную таким образом разностную краевую задачу называют разностной схемой. [42]