Данная краевая задача
Cтраница 3
Основная идея метода сеток заключается в том, что дифференциальное уравнение, начальные и граничные условия заменяются системой конечно-разностных ( алгебраических) уравнений, приближенно представляющих данную краевую задачу. [31]
 |
Фазовый портрет задачи на собственное значение. [32] |
Алгоритм решения данной краевой задачи основан на методе пристрелки, который позволил итерационно рассчитывать собственное значение - скорость автоволны w щ и соответствующую ге-тероклиническую траекторию. [33]
Такая задача продолжения является типичной для параболических дифференциальных уравнений, простейшим случаем которых является уравнение теплопроводности. Напротив, характеризующие данную краевую задачу дифференциальные уравнения Навье - Стокса принадлежат к уравнениям эллиптического типа. К ним же относятся дифференциальное уравнение Лапласа и бигармоническое дифференциальное уравнение. [34]
V отрезков, имеет N узловых точек. Следовательно, численное решение данной краевой задачи, как и прежде, сводится к системе 2N алгебраических уравнений с 2N неизвестными. Неизвестными в системе теперь выступают смещения или усилия в узловых точках. [35]
Тогда существует бесконечное множество интегральных кривых уравнения ( 1), проходящих через точку ( а, А), и существует по крайней мере одна кривая, проходящая через эту точку и имеющая в ней заданное направление у ( а) а. Поэтому для того, чтобы данная краевая задача была разрешима, нужны, вообще говоря, некоторые дополнительные предположения. [36]
Итак, если краевая задача не решается аналитически, всегда используется следующий путь. Сначала составляют критерии подобия для данной краевой задачи, затем в каком-либо частном случае находят зависимость между всеми размерными параметрами, которые входят в данную краевую задачу. Теперь фактически известно решение общей задачи и им можно воспользоваться в любом частном случае: для этого нужно снова перейти от безразмерных к размерным переменным для заданных значений ряда физических параметров. [37]
Краевые задачи не всегда - разрешимы. С, при которых из общего решения получается решение данной краевой задачи. [38]
Однако этот путь не всегда является наиболее подходящим. Часто оказывается удобнее прямым путем прийти к теореме существования для данной краевой задачи и для ее сопряженной. [39]
Задача об определении функции, удовлетворяющей уравнению и системе граничных и начальных условий, называется краевой за дачей. Для некоторого класса граничных и начальных условий может быть доказана теорема единственности, согласно которой данная краевая задача имеет одно и только одно решение. [40]
Метод сеток или, иначе, метод конечных разностей наиболее распространенный для приближенного решения дифференциальных уравнений в частных производных. Основная идея метода сеток заключается в том, что дифференциальное уравнение, начальные и граничные условия заменяются системой конечно-разностных алгебраических уравнений, приближенно представляющих данную краевую задачу. Рассмотрим применение метода сеток к решению задач теплопроводности на примере двухмерной задачи. [41]
Итак, если краевая задача не решается аналитически, всегда используется следующий путь. Сначала составляют критерии подобия для данной краевой задачи, затем в каком-либо частном случае находят зависимость между всеми размерными параметрами, которые входят в данную краевую задачу. Теперь фактически известно решение общей задачи и им можно воспользоваться в любом частном случае: для этого нужно снова перейти от безразмерных к размерным переменным для заданных значений ряда физических параметров. [42]
Итак, для дальнейшего продвижения необходимо поставить краевую задачу, а не только заложить в основу рассуждений некий внутренний механизм явления. В результате будет получена замкнутая система уравнений и условий, с помощью которой можно в принципе приступить к решению основного уравнения. Очевидно, из такой замкнутой системы должны быть получены все существенные для данной краевой задачи безразмерные величины. Некоторые из них в соответствии с формулировкой задачи получают смысл новых независимых переменных, другие будут представлять собой новые зависимые переменные. Наряду с переменными - комплексами здесь могут быть представлены и специфические переменные - симплексы, например отношения попарно взятых характерных геометрических размеров. [43]
Для удобства изложения мы наложили некоторые излишние условия, которые не являются независимыми от остальных ( ср. Числа C-L - константы, значения которых для нас несущественны. Можно считать, что сформулированные в пункте 5 условия на ребре получаются из физических соображений. Они играют существенную роль, так как с ними связан вопрос о единственности решения данной краевой задачи. [44]
Решение системы ( 1) - ( 12) связано с большими трудностями. Поэтому были рассмотрены различные возможности численного решения задачи. Применение операционного исчисления Лапласа по переменной времени приводит к системе интегральных или ( при несколько иной форме решения) интегро-дифференциальных уравнений. Ядра этих уравнений представляют собой решение уравнений теплопроводности и, строго говоря, являются бесконечными рядами по собственным значениям данной краевой задачи. Ро и по 1 как с переменным, так и с постоянным верхним пределом; получается своеобразная смесь интегральных уравнений Фредгольма и Вольтерра. Поэтому известные аналитические методы, используемые для решения уравнений типа Фредгольма или Вольтерра в отдельности, в данном случае неприменимы. Конечно, полученные интегральные ( интегро-дифференциальные) уравнения могут быть решены одним из известных методов численно, тем более, что численные методы для решения интегральных уравнений хорошо исследованы и их сходимость проверена. [45]
Страницы: 1 2 3